2.9 演習問題 〜 偏微分

問 2.40 (1 階偏導関数)   次の関数の $1$ 階偏導関数を全て求めよ．
    (1)   $${x^2y^5-2x^3y^2+y}$$     (2)   $${x^2y^5-2y^3y^2+y}$$     (3)   $${\frac{x+y}{x-y}}$$     (4)   $${x^4-3x^2y^2+3y^4}$$
    (5)   $${2x^3+5xy+2y^2}$$     (6)   $${x^5+3x^4y^2+4xy^3+y^4}$$     (7)   $${x^3+y^2+2}$$     (8)   $${x^3-x^2y+xy^2-y-3}$$
    (9)   $${\frac{x}{x^2+y^2}}$$     (10)   $${\sqrt{x^2+y^4}}$$     (11)   $${\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$$     (12)   $${x^2y^3z^2}$$     (13)   $${\log(x^2+xy+y^2)}$$
    (14)   $${\log\sqrt{x^2+y^2}}$$     (15)   $${\log\frac{1}{x^2+y^2}}$$     (16)   $${e^{xy^2}}$$     (17)   $${e^{xy}(x\cos y-y\sin y)}$$     (18)   $${\sin(2x+3y)}$$
    (19)   $${x^2\cos y-y^2\cos x}$$     (20)   $${\cos(x^2+xy)}$$     (21)   $${\sin(x^2y)}$$     (22)   $${\sin^{-1}(x+yz)}$$     (23)   $${\tan^{-1}\frac{y}{x}}$$
    (24)   $${\tan^{-1}\frac{x^2}{y}}$$     (25)   $${\tan^{-1} x^2y}$$

問 2.41 (2 階偏導関数)   次の関数の 1 階, 2 階偏導関数を全て求めよ．
    (1)   $${4x^3-2x^2y+5xy^2-y^3}$$     (2)   $${\log\sqrt{x^2+y^2}}$$     (3)   $${x\sin xy^2}$$     (4)   $${\cos(a\,x+b\,y)}$$
    (5)   $${\sin(a\,x+b\,y)}$$     (6)   $${e^{xy^2}}$$
    (7)   $${\alpha\,p^4+\beta\,q^3+\gamma\,r^2-2pq-2qr-2rp+3pqr}$$ （$p$, $q$, $r$ について）

問 2.42 (3 階偏導関数)   次の関数の 1 階, 2 階, 3 階偏導関数を全て求めよ．
    (1)   $${2x^3+5xy+2y^2}$$     (2)   $${e^{x^2+xy}}$$

問 2.43 (偏微分)   $${w=\frac{a^2 \varphi}{\xi a^2+b^2 \varphi}}$$ であるとき $${\frac{\partial w}{\partial a}}$$, $${\frac{\partial w}{\partial \varphi}}$$, $${\frac{\partial w}{\partial \xi}}$$, $${\frac{\partial^2 w}{\partial a \partial \varphi}}$$, $${\frac{\partial^2 w}{\partial \varphi \partial \xi}}$$ を求めよ．

平成20年2月2日