2.12 全微分

定義 2.56 (全微分可能) 関数において，点から点 $(x+\Delta x,y+\Delta y)$ への増分

$\displaystyle \Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$

に対して

$\displaystyle \Delta z=\alpha\,\Delta x+\beta\,\Delta y+o(\rho), \quad \rho=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2} \quad (\rho\to 0)$

をみたす $\alpha$ , $\beta$ が存在するとき，関数は 全微分可能（total differentiable）であるという．このとき，

$\displaystyle dz=\alpha\,dx+\beta\,dy$

と表記し，をの全微分 または単に微分という．

例 2.57 (微分可能) 関数は全微分可能であるか考える．まず，増分は

$\displaystyle \Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)= (x+\Delta x)(y+\Delta y)-xy= y\Delta x+x\Delta y+\Delta x\Delta y$

である．この増分が

$\displaystyle \Delta z=\alpha\,\Delta x+\beta\,\Delta y+\epsilon(\rho), \quad \rho=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$

の形をみたすと仮定する．このとき式変形すると

$\displaystyle \frac{\epsilon(\rho)}{\rho}= \frac{(y-\alpha)\Delta x+(x-\beta)\Delta y+\Delta x\Delta y} {\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}$

となる．ここで $\Delta x=\rho\cos\theta$ , $\Delta y=\rho\sin\theta$ とおき， $\rho\to 0$ の極限をとると，

$\displaystyle \lim_{\rho\to 0} \frac{\epsilon(\rho)}{\rho}$	$\displaystyle = \lim_{\rho\to0} \frac{(y-\alpha)\rho\cos\theta+ (x-\beta)\rho\sin\theta+\rho^2\sin\theta\cos\theta} {\rho}$
	$\displaystyle = \lim_{\rho\to0} (y-\alpha)\cos\theta+ (x-\beta)\sin\theta+\rho\sin\theta\cos\theta$
	$\displaystyle = (y-\alpha)\cos\theta+ (x-\beta)\sin\theta$

を得る． $\displaystyle{\lim_{\rho\to 0}\frac{\epsilon}{\rho}=0}$ となるためには

$\displaystyle \alpha=y, \qquad \beta=x$

とおく．よって，

$\displaystyle \Delta z=y\,\Delta x+x\,\Delta y+o(\rho) \quad (\rho\to0)$

が成り立つ．関数は全微分可能である．また，の全微分は

$\displaystyle dz=y\,dx+x\,dy$

となる．