2.22 演習問題 〜 合成関数の微分

2.89 (合成関数の微分)   次の合成関数の導関数 $ \displaystyle{\frac{dz}{dt}}$ を求めよ.ただし, $ t$ の関数として表せ.
    (1)   $ z=t^2+2tx+3x^2$$ x=\log t$     (2)   $ \displaystyle{z=x y}$ $ \displaystyle{x=3t^2+3}$ $ \displaystyle{y=t^3+1}$
    (3)   $ \displaystyle{z=xg(y)+yf(x)}$, $ \displaystyle{x=t^3}$, $ \displaystyle{y=t^2}$     (4)  $ z=f(x,y)$ $ x=\alpha\,t+\beta$ $ y=\gamma\,t+\delta$
    (5)   $ z=xy^2-x^2y$$ x=t^2$$ y=e^t$     (6)  $ z=x^3y^2$$ x=t^2$$ y=t^4$
    (7)   $ z=x\,\cos y-y\,\cos x$$ x=\cos 2t$$ y=\sin 2t$     (8)   $ z=e^{x^2y}$$ x=\cos t$$ y=t^2$
    (9)   $ z=\mathrm{Tan}^{-1} xy$ $ x=e^t+e^{-t}$$ y=e^{2t}$     (10)   $ \displaystyle{z=\mathrm{Tan}^{-1}xy}$$ x=t^2$$ y=1/(t+1)$
    (11)  $ z=f(x,y)$$ x=\cos t$$ y=\sin t$     (12)   $ z=2xy-3x^2y^3$$ x=t^2$$ y=t^3$
    (13)   $ z=e^{x^2y}$$ x=t$ $ y=\frac{1}{t}$     (14)   $ z=4x^3y^2+5x^2y$$ x=t^2$$ y=t^3$

2.90 (合成関数の微分)   次の合成関数の偏導関数 $ \displaystyle{\frac{\partial z}{\partial u}}$ $ \displaystyle{\frac{\partial z}{\partial v}}$ を求めよ. ただし,$ u,v$ の関数として表せ.
    (1)   $ z=xy^2+x^2y$$ x=u+v$$ y=u-v$     (2)   $ z=\sin(x-y)$$ x=u^2+v^2$$ y=2uv$
    (3)  $ z=f(x,y)$$ x=2u-3v$$ y=u-5v$     (4)  $ z=f(x+3y)$$ x=u-2v$$ y=3u-4v$
    (5)  $ z=f(x,y)$ $ x=\cos(u+v)$ $ y=\sin(u-v)$     (6)  $ z=f(x,y)$ $ x=u\,\cos v$ $ y=u\,\sin v$
    (7)   $ \displaystyle{z=\log{\sqrt{x^2+y^2}}}$$ x=u^2-v^2$$ y=2uv$     (8)   $ \displaystyle{z=\tan^{-1}\frac{y}{x}}$$ x=u^2-v^2$$ y=2uv$
    (9)   $ \displaystyle{z=(x+y)^2}$ $ \displaystyle{x=\sin\frac{v}{u}}$ $ \displaystyle{y=\cos\frac{u}{v}}$     (10)   $ \displaystyle{z=\mu x^2-\nu y^2}$$ x=u^2+v^2$$ y=u^2-v^2$
    (11)  $ z=xy$ $ x=\alpha\,u+\beta\,v$ $ y=\gamma\,u+\delta\,v$
    (12)  $ z=x^2-y^2$ $ x=\cosh (2u+3v)$ $ y=\sinh (3u-2v)$
    (13)   $ \displaystyle{z=\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}}$ $ x=r\,\cos\varphi$ $ y=r\,\sin\varphi$


平成20年2月2日