2.27 3 次元空間の極座標

定義 2.118 (極座標)   3 次元空間において， 直交座標 $(x,y,z)$ から 極座標（polar coordinates） $(r,\theta,\varphi)$ への 座標変換は

$$x=r\sin\theta\cos\varphi, \qquad y=r\sin\theta\sin\varphi, \qquad z=r\cos\theta$$

で与えられる．

注意 2.119 (極座標)   極座標 $(r,\theta,\varphi)$ から 直交座標 $(x,y,z)$ への座標変換は

$$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}, \qquad \theta=\tan^{-1}\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2}}, \qquad \varphi=\tan^{-1}\frac{y}{x}$$

と表される．

例 2.120 (極座標のヤコビアン)  

$$\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,\varphi)}= \begin{vmatri... ...r\sin\theta \\ -r\sin\theta\sin\varphi& r\sin\theta\cos\varphi& 0 \end{vmatrix}$$

$$= \cos\theta \begin{vmatrix}r\cos\theta\cos\varphi& r\cos\theta\s... ...heta\sin\varphi\\ -r\sin\theta\sin\varphi& r\sin\theta\cos\varphi \end{vmatrix}$$

$$= r^2\cos^2\theta\sin\theta \begin{vmatrix}\cos\varphi& \sin\varp... ...egin{vmatrix}\cos\varphi& \sin\varphi\\ -\sin\varphi& \cos\varphi \end{vmatrix}$$

$$= r^2\sin\theta \left(\cos^2\theta+\sin^2\theta\right) (\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)$$

$$= r^2\sin\theta$$

例 2.121 (極座標における偏微分作用素の変換)  

$$\begin{bmatrix}f_r \\ f_\theta \\ f_\varphi \end{bmatrix} = \begi... ...heta\cos\varphi& 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}f_x \\ f_y \\ f_z \end{bmatrix}$$

例 2.122 (極座標における偏微分作用素の変換)  

$$\begin{bmatrix}f_x \\ f_y \\ f_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\... ...eta & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}f_r \\ f_\theta \\ f_\varphi \end{bmatrix}$$

例 2.123 (極座標におけるラプラシアン)  

$$\triangle = \frac{\partial^2}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2}{\partial y^2}+ \frac{\partial^2}{\partial z^2}$$

$$= \frac{\partial^2}{\partial r^2}+ \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2... ...\partial}{\partial r}+ \frac{1}{r^2\tan\theta} \frac{\partial}{\partial \theta}$$

平成20年2月2日