2.26 2 次元空間の極座標

定義 2.110 (極座標)   2 次元空間において， 直交座標 $(x,y)$ から 極座標（polar coordinates） $(r,\theta)$ への 座標変換は

$$( )\qquad x=r\cos\theta, \qquad y=r\sin\theta$$

で与えられる．

注意 2.111 (極座標)   極座標 $(r,\theta)$ から 直交座標 $(x,y)$ への座標変換は

$$( )\qquad r=\sqrt{x^2+y^2}, \qquad \theta=\tan^{-1}\frac{y}{x}$$

と表される．

例 2.112 (極座標のヤコビアン)   座標変換(☆)より

$$\frac{\partial x}{\partial r}= \cos\theta, \quad \frac{\partial y... ...al \theta}= -r\sin\theta, \quad \frac{\partial y}{\partial \theta}= r\cos\theta$$

となるらか，ヤコビアンは

$$\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}= \begin{vmatrix}\frac{\p... ...a \\ -r\sin\theta & r\cos\theta \end{vmatrix} = r\cos^2\theta+r\sin^2\theta = r$$

と得られる．

例 2.113 (極座標における偏微分作用素の変換)   座標 $(x,y)$ から極座標 $(r,\theta)$ への変換(☆)を考える． 関数 $z=f(x,y)$ を $r$, $\theta$ に関して偏微分すると， 合成関数の微分則より

$$( )\quad z_r= \frac{\partial z}{\partial r}= \frac{\partial z}{\partial x}... ...al x}+ \sin\theta \frac{\partial z}{\partial y} = z_x\cos\theta+ z_y\sin\theta,$$

$$z_\theta= \frac{\partial z}{\partial \theta}= \frac{\partial z}{\... ...x}+ r\cos\theta \frac{\partial z}{\partial y} = -z_xr\sin\theta+ z_yr\cos\theta$$

が成り立つ．これは

$$( )\qquad \begin{bmatrix}z_r \\ z_\theta \end{bmatrix} = \begin{bma... ...in{bmatrix}z_x \\ z_y \end{bmatrix} = A \begin{bmatrix}z_x \\ z_y \end{bmatrix}$$

とも表される． 行列 $A$ の行列式がヤコビアンである． このとき，

$$\frac{\partial}{\partial r}z= \left( \cos\theta\frac{\partial}{\p... ...eta\frac{\partial}{\partial x}+ r\cos\theta\frac{\partial}{\partial y} \right)z$$

と書くと関数 $z$ は任意であり省略すると

$$\frac{\partial}{\partial r}= \cos\theta\frac{\partial}{\partial x... ...-r\sin\theta\frac{\partial}{\partial x}+ r\cos\theta\frac{\partial}{\partial y}$$

となる． (★)を用いて右辺の $r$, $\theta$ を $x$, $y$ で表すと

$$\frac{\partial}{\partial r}= \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \frac{\part... ...}{\partial \theta}= -y\frac{\partial}{\partial x}+ x\frac{\partial}{\partial y}$$

となる． これは偏微分作用素における 極座標 $r\theta$ から座標 $xy$ への座標変換である． 点に関する座標変換(☆)とは 変換の向きが異なることに注意する．

例 2.114 (極座標における偏微分作用素の変換)   極座標 $(r,\theta)$ から座標 $(x,y)$ への変換(★)を考える． 関数 $z=f(r,\theta)$ を $x$, $y$ に関して偏微分すると， (★)と合成関数の微分則より

$$z_x= \frac{\partial z}{\partial x}= \frac{\partial z}{\partial r}... ...l z}{\partial \theta} = \frac{xz_r}{\sqrt{x^2+y^2}}- \frac{yz_\theta}{x^2+y^2},$$

$$z_y= \frac{\partial z}{\partial y}= \frac{\partial z}{\partial r}... ...al z}{\partial \theta} = \frac{yz_r}{\sqrt{x^2+y^2}}+ \frac{xz_\theta}{x^2+y^2}$$

が成り立つ． さらに(☆)を用いて右辺を $r$, $\theta$ で表すと

$$( )\quad z_x=z_r\cos\theta -\frac{z_\theta}{r}\sin\theta, \qquad z_y=z_r\sin\theta +\frac{z_\theta}{r}\cos\theta$$

となる． これは

$$\begin{bmatrix}z_x \\ z_y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\cos\the... ...}z_r \\ z_\theta \end{bmatrix} = B \begin{bmatrix}z_r \\ z_\theta \end{bmatrix}$$

とも表される． この式は(♭)の両辺に $A^{-1}$ を左から掛けることでも 得られる．すなわち，$B=A^{-1}$ となる． ここで，

$$\frac{\partial}{\partial x}z= \left( \cos\theta\frac{\partial}{\p... ...l}{\partial r}+ \frac{1}{r} \cos\theta\frac{\partial}{\partial \theta} \right)z$$

と書くと，関数 $z$ は任意であり省略すると

$$( )\qquad \frac{\partial}{\partial x}= \cos\theta\frac{\partial}{\partial r... ...c{\partial}{\partial r}+ \frac{1}{r} \cos\theta\frac{\partial}{\partial \theta}$$

を得る． これは偏微分作用素における 座標 $xy$ から極座標 $r\theta$ への座標変換である． 点に関する座標変換(★)とは 変換の向きが異なることに注意する．

例 2.115 (極座標への座標変換)   関数 $z=f(x,y)$ に対して関数

$$F(x,y)= \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2+ \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2 = (z_x)^2+(z_y)^2$$

を考える． この関数を極座標 $r\theta$ で表す． (▲)を代入すると

$$F = \left(z_r\cos\theta -\frac{z_\theta}{r}\sin\theta\right)^2+ \left(z_r\sin\theta +\frac{z_\theta}{r}\cos\theta\right)^2$$

$$= (\cos^2\theta+\sin^2\theta)(z_r)^2 -\frac{2\sin\theta\cos\theta... ...ta\cos\theta}{r} z_rz_\theta+ \frac{\sin^2\theta+\cos^2\theta}{r^2}(z_\theta)^2$$

$$= (z_r)^2+\frac{(z_\theta)^2}{r^2} = \left(\frac{\partial z}{\partial r}\right)^2+ \frac{1}{r^2} \left(\frac{\partial z}{\partial \theta}\right)^2$$

を得る．

例 2.116 (極座標におけるラプラシアン)   関数 $z=f(x,y)$ に対して関数

$$F(x,y)= \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = z_{xx}+z_{yy}$$

を考える． この関数を極座標 $r\theta$ で表す． (○)より，

$$z_{xx} =\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}= \frac{\partial}{\partial x}\f... ...l}{\partial r}- \frac{1}{r} \sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta} \right)z$$

$$= \left( \cos\theta\frac{\partial}{\partial r}- \frac{1}{r} \sin\... ...al \theta} \right) \left(\cos\theta\,z_r-\frac{1}{r}\sin\theta\,z_\theta\right)$$

$$= \cos\theta\frac{\partial}{\partial r} \left(\cos\theta\,z_r-\fr... ...}{\partial \theta} \left(\cos\theta\,z_r-\frac{1}{r}\sin\theta\,z_\theta\right)$$

$$= \cos\theta \left(\cos\theta\,z_{rr}- \sin\theta\left( -\frac{1}... ...c{1}{r}\left( \cos\theta\,z_\theta+ \sin\theta\,z_{\theta\theta} \right)\right)$$

$$= \cos^2\theta\,z_{rr} +\frac{1}{r^2}\sin^2\theta\,z_{\theta\thet... ...} +\frac{1}{r}\sin^2\theta\,z_r +\frac{2}{r^2}\sin\theta\cos\theta\,z_{\theta},$$

$$z_{yy} = \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}= \frac{\partial}{\partial y}\... ...l}{\partial r}+ \frac{1}{r} \cos\theta\frac{\partial}{\partial \theta} \right)z$$

$$= \left( \sin\theta\frac{\partial}{\partial r}+ \frac{1}{r} \cos\... ...theta} \right) \left(\sin\theta\,z_{r}+\frac{1}{r}\cos\theta\,z_{\theta}\right)$$

$$= \sin\theta\frac{\partial}{\partial r} \left(\sin\theta\,z_{r}+\... ...artial \theta} \left(\sin\theta\,z_{r}+\frac{1}{r}\cos\theta\,z_{\theta}\right)$$

$$= \sin\theta \left(\sin\theta\,z_{rr} +\cos\theta \left( -\frac{1... ...{r} \left( -\sin\theta\,z_{\theta} +\cos\theta\,z_{\theta\theta} \right)\right)$$

$$= \sin^2\theta\,z_{rr} +\frac{1}{r^2}\cos^2\theta\,z_{\theta\thet... ... +\frac{1}{r}\cos^2\theta\,z_{r} -\frac{2}{r^2}\sin\theta\cos\theta\,z_{\theta}$$

となる． よって

$$F =z_{xx}+z_{yy}= \frac{\partial^2}{\partial x^2}f+\frac{\partial^2... ...heta+\sin^2\theta)z_{\theta\theta}+ \frac{1}{r}(\cos^2\theta+\sin^2\theta)z_{r}$$

$$=z_{rr}+\frac{1}{r^2}z_{\theta\theta}+\frac{1}{r}z_{r}= \frac{\pa... ...frac{\partial^2 z}{\partial \theta^2}+ \frac{1}{r}\frac{\partial z}{\partial r}$$

を得る．

例 2.117 (極座標におけるラプラシアン)   ラプラス演算子

$$\triangle = \frac{\partial^2}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2}{\partial y^2}$$

を座標 $r\theta$ で表す． 前例題より

$$F= \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2 z}{\partia... ...\partial^2}{\partial \theta^2}+ \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r} \right)z$$

が成り立つ．関数 $z$ は任意であるから，

$$\triangle = \frac{\partial^2}{\partial r^2}+ \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2}{\partial \theta^2}+ \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}$$

を得る．

平成20年2月2日