2.25 斜交座標

$2$ 次元ユークリッド空間に 普通に導入する座標 $xy$ は， 標準基底

$$\vec{e}_x= \begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad \vec{e}_y= \begin{bmatrix}0 \\ 1 \end{bmatrix}$$

における座標である． 座標を $(x,y)$ とすると任意のベクトルは

$$( )\qquad \vec{p}= x\vec{e}_x+y\vec{e}_y= \begin{bmatrix}\vec{e}_x ... ...trix} \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}$$

と表される． 一方， 基底

$$\vec{e}_u= \begin{bmatrix}\alpha \\ \beta \end{bmatrix}, \qquad \vec{e}_v= \begin{bmatrix}\gamma \\ \delta \end{bmatrix}$$

における座標を $(u,v)$ とおくと， 任意のベクトルは

$$( )\qquad \vec{p}= u\vec{e}_{u}+v\vec{e}_{v}= \begin{bmatrix}\vec{e... ...ix} \begin{bmatrix}u \\ v \end{bmatrix} = A \begin{bmatrix}u \\ v \end{bmatrix}$$

と表される． ベクトル $\vec{p}$ は同じものであるから， (☆), (★)より

$$( )\qquad \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}\alph... ...ix} \begin{bmatrix}u \\ v \end{bmatrix} = A \begin{bmatrix}u \\ v \end{bmatrix}$$

が成り立つ． 基底 $\vec{e}_u$, $\vec{e}_v$ は 1 次独立であるから， $A$ は正則で逆行列 $A^{-1}$ が存在し，

$$( )\qquad \begin{bmatrix}u \\ v \end{bmatrix} = A^{-1} \begin{bmatr... ... & -\gamma \\ -\beta & \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}$$

が成り立つ． (○)を座標 $(x,y)$ から座標 $(u,v)$ への座標変換という． また，(●)を 座標 $(u,v)$ から座標 $(x,y)$ への座標変換という． 標準基底 $\vec{e}_x$, $\vec{e}_y$ は $\vec{e}_x\cdot\vec{e}_y=0$ をみたし直交するから， 座標 $xy$ は直交座標である． 基底 $\vec{e}_u$, $\vec{e}_v$ の 方向余弦

$$\cos\theta= \frac{\vec{e}_u\cdot\vec{e}_v}{\Vert\vec{e}_u\Vert\Ve... ... \frac{\alpha\gamma+\beta\delta} {\sqrt{(\alpha^2+\beta^2)(\gamma^2+\delta^2)}}$$

は一般には 0 とはならないので， 座標 $uv$ は斜交座標である．

問 2.100 (直交座標と斜交座標)   基底 $\vec{e}_u$, $\vec{e}_v$ に関して次の問に答えよ．

(1) $\vec{e}_u$ と $\vec{e}_v$ が直交する $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ の条件を求めよ．

(2) $\vec{e}_u$, $\vec{e}_v$ が単位ベクトルとなる $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ の条件を求めよ．

(3) $\vec{e}_u$, $\vec{e}_v$ が直交しかつ単位ベクトルとなる $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ の条件を求めよ．

例 2.101 (直交座標から斜交座標へのヤコビアン)   直交座標 $xy$ から斜交座標 $uv$ への座標変換(○)の ヤコビアンを求める． (○)より

$$x=\alpha u+\gamma v, \qquad y=\beta u+\delta v$$

であるから，

$$\frac{\partial x}{\partial u}=\alpha, \quad \frac{\partial y}{\pa... ...frac{\partial x}{\partial v}=\gamma, \quad \frac{\partial y}{\partial v}=\delta$$

となり， ヤコビアン

$$\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}= \begin{vmatrix}\frac{\partia... ...\beta \\ \gamma & \delta \end{vmatrix} = \det(A^{T}) = \alpha\delta-\beta\gamma$$

を得る．

例 2.102 (斜交座標における偏微分作用素)   直交座標 $xy$ から斜交座標 $uv$ への座標変換(○)を考える． 関数 $z=f(x,y)$ における $u$, $v$ に関する偏導関数を求める． 導関数の微分則を用いると

$$( ) \qquad z_u= \frac{\partial z}{\partial u}= \frac{\partial z}{\p... ...c{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} = \gamma z_x+\delta z_y$$

を得る．この関係式は

$$( )\qquad \begin{bmatrix}z_u \\ z_v \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}... ...matrix}z_x \\ z_y \end{bmatrix} = A^{T} \begin{bmatrix}z_x \\ z_y \end{bmatrix}$$

とも表される．また， ナブラ作用素

$$\nabla_{(u,v)}= \begin{bmatrix}\frac{\partial}{\partial u} \\ \fr... ...matrix}\frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \end{bmatrix}$$

を導入すれば

$$\nabla_{(u,v)} z=A^{T}\nabla_{(x,y)} z$$

と簡潔に表される． 次に(△)において関数 $z$ は任意でもよいので 関数を省略すると， 偏微分演算子の関係式

$$\frac{\partial}{\partial u}= \frac{\partial x}{\partial u} \frac{... ...rtial y} = \gamma\frac{\partial}{\partial x}+ \delta\frac{\partial}{\partial y}$$

を得る． この関係式は偏微分作用素に関する $uv$ 座標から $xy$ 座標への変換を表す． 点に関する座標変換(○)の逆向きの変換であることに注意する．

例 2.103 (斜交座標における偏微分作用素)   斜交座標 $uv$ から直交座標 $xy$ への座標変換(●)を考える． 関数 $z=f(u,v)$ における $x$, $y$ に関する偏導関数を求める． (●)より座標変換は

$$u= \frac{1}{\alpha\delta-\beta\gamma}(\delta x-\gamma y), \qquad v= \frac{1}{\alpha\delta-\beta\gamma}(-\beta x+\alpha y)$$

であるか，導関数の微分則を用いると

$$( )\qquad z_x= \frac{\partial z}{\partial x}= \frac{\partial z}{\partial u}... ...al x} = \frac{1}{\alpha\delta-\beta\gamma} \left( \delta z_u-\beta z_v \right),$$

$$z_y= \frac{\partial z}{\partial y}= \frac{\partial z}{\partial u}... ...l y} = \frac{1}{\alpha\delta-\beta\gamma} \left( -\gamma z_u+\alpha z_v \right)$$

を得る．この関係式は

$$\begin{bmatrix}z_x \\ z_y \end{bmatrix} = \frac{1}{\alpha\delta-\... ...atrix}z_u \\ z_v \end{bmatrix} = A^{-T} \begin{bmatrix}z_u \\ z_v \end{bmatrix}$$

とも表される． この結果は(♭)の両辺に $A^{-T}$ を左から 掛けることでも得られる． また，ナブラ作用素を導入すると

$$\nabla_{(x,y)}z=A^{-T}\nabla_{(u,v)}z$$

と簡潔に表される． 次に(▲)において関数 $z$ は任意で成り立つので 省略すると， 偏微分作用素の関係式

$$( )\qquad \frac{\partial}{\partial x}= \frac{\partial u}{\partial x} \frac{... ...t( \delta\frac{\partial}{\partial u}- \beta\frac{\partial}{\partial v} \right),$$

$$\frac{\partial}{\partial y}= \frac{\partial u}{\partial y} \frac{... ...( -\gamma\frac{\partial}{\partial u}+ \alpha\frac{\partial}{\partial v} \right)$$

を得る． この関係式は偏微分作用素に関する $xy$ 座標から $uv$ 座標への変換を表す． 点に関する座標変換(●)の逆向きの変換であることに注意する．

例 2.104 (斜交座標への座標変換)   関数 $z=f(x,y)$ に対して関数

$$F(x,y)= \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2+ \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2 = (z_x)^2+(z_y)^2$$

を考える． この関数を斜交座標 $uv$ で表す． (▲)を代入すると

$$F = \left( \frac{1}{\alpha\delta-\beta\gamma} \left(\delta z_u-\bet... ...frac{1}{\alpha\delta-\beta\gamma} \left(-\gamma z_u+\alpha z_v\right) \right)^2$$

$$= \frac{(\delta^2+\gamma^2)(z_u)^2+ (\alpha^2+\beta^2)(z_v)^2- 2(\beta\delta+\alpha\gamma)z_uz_v} {(\alpha\delta-\beta\gamma)^2}$$

$$= \frac{\gamma^2+\delta^2}{(\alpha\delta-\beta\gamma)^2} \left(\f... ...a^2}{(\alpha\delta-\beta\gamma)^2} \left(\frac{\partial z}{\partial v}\right)^2$$

を得る．

問 2.105 (斜交座標への座標変換)   この関数 $F$ が斜交座標 $uv$ で

$$F= \left(\frac{\partial z}{\partial u}\right)^2+ \left(\frac{\partial z}{\partial v}\right)^2$$

と表されるための $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ の必要十分条件は， 基底 $\vec{e}_u$, $\vec{e}_v$ が 正規直交基底であることを示せ． またこのとき，行列 $A$ は直交行列となる（$AA^{T}=E$ をみたす） ことを示せ．

例 2.106 (斜交座標におけるラプラシアン)   関数 $z=f(x,y)$ に対して関数

$$F(x,y)= \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = z_{xx}+z_{yy}$$

を考える． この関数を斜交座標 $uv$ で表す． (◎)より

$$z_{xx} = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}= \frac{\partial}{\partial x} ... ...( \delta\frac{\partial}{\partial u}- \beta\frac{\partial}{\partial v} \right) z$$

$$= \frac{1}{(\alpha\delta-\beta\gamma)^2} \left( \delta\frac{\part... ...ta^2 z_{uu}-2\beta\delta z_{uv}+\beta^2 z_{vv}} {(\alpha\delta-\beta\gamma)^2},$$

$$z_{yy} = \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}= \frac{\partial}{\partial y} ... ... -\gamma\frac{\partial}{\partial u}+ \alpha\frac{\partial}{\partial v} \right)z$$

$$= \frac{1}{(\alpha\delta-\beta\gamma)^2} \left( -\gamma\frac{\par... ...a^2 z_{uu}-2\alpha\gamma z_{uv}+\alpha^2 z_{vv}} {(\alpha\delta-\beta\gamma)^2}$$

となるらか，

$$F =z_{xx}+z_{yy}= \frac{(\delta^2+\gamma^2)z_{uu}- 2(\alpha\gamma+\beta\delta)z_{uv}+ (\alpha^2+\beta^2)z_{vv}} {(\alpha\delta-\beta\gamma)^2}$$

$$= \frac{\gamma^2+\delta^2}{(\alpha\delta-\beta\gamma)^2} \frac{\p... ...lpha^2+\beta^2}{(\alpha\delta-\beta\gamma)^2} \frac{\partial^2 z}{\partial v^2}$$

を得る．

例 2.107 (斜交座標におけるラプラシアン)   直交座標 $xy$ から斜交座標 $uv$ への座標変換(○)を考える． このとき ラプラシアン（Laplacian）または ラプラス作用素（Laplace operator） と呼ばれる 偏微分作用素

$$\triangle= \frac{\partial^2}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2}{\partial y^2}$$

の $uv$ 座標への変換を行う． 前例題において関数 $z$ は任意であるから，

$$\triangle= \frac{\partial^2}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2}{\pa... ...\alpha^2+\beta^2}{(\alpha\delta-\beta\gamma)^2} \frac{\partial^2}{\partial v^2}$$

を得る．

問 2.108 (斜交座標におけるラプラシアン)   斜交座標 $uv$ におけるラプラシアンが

$$\triangle= \frac{\partial^2}{\partial u^2}+ \frac{\partial^2}{\partial v^2}$$

となるための $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ の必要十分条件は， 基底 $\vec{e}_u$, $\vec{e}_v$ が 正規直交基底であることを示せ． またこのとき，行列 $A$ は直交行列となる（$AA^{T}=E$ をみたす） ことを示せ．

問 2.109 (斜交座標)   座標 $(x,y)$ から斜交座標 $(u,v)$ への座標変換

$$(1)\quad x=\sqrt{3}u-\sqrt{3}v, y=u+v (2)\quad x=2u-v, y=u+2v (3)\quad x=u-v, y=u+\sqrt{3}v$$

に対してそれぞれ，次の問に答えよ．

(i) $u=0,\pm1,\pm2,\cdots$, $v=0,\pm1,\pm2,\cdots$ をみたす $(x,y)$ の軌跡をそれぞれ書け．

(ii) $u$ 軸（$v=0$ の直線）と $v$ 軸（$u=0$ の直線）の 方向ベクトルを求めよ．

(iii) $u$ 軸と $v$ 軸のなす角度を求めよ．

(iv) 座標 $(u,v)=(1,1),(2,3),(-1,2),(-1,-3),(2,-1)$ に対して， 座標 $(x,y)$ を求めよ．

(v) 座標 $(x,y)=(1,1),(2,3),(-1,2),(-1,-3),(2,-1)$ に対して， 座標 $(u,v)$ を求めよ．

(vi) 直線 $x+2y=1$ を座標 $(u,v)$ で表せ．

(vii) 曲線 $x^2+y^2=1$ を座標 $(u,v)$ で表せ．

(viii) ヤコビアン $${ \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}}$$ を求めよ．

(ix) 偏微分作用素に関する座標 $uv$ から座標 $xy$ への 座標変換を求めよ．

(x) 偏微分作用素に関する座標 $xy$ から座標 $uv$ への 座標変換を求めよ．

(xi) 関数 $z=f(x,y)$ に対する関数 $${F=(z_x)^2+(z_y)^2}$$ を座標 $uv$ で表わせ．

(xii) 関数 $z=f(x,y)$ に対する関数 $${F=z_{xx}+z_{yy}}$$ を座標 $uv$ で表わせ．

(xiii) ラプラス作用素 $${\triangle=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2}{\partial y^2}}$$ を座標 $uv$ で表わせ．

平成20年2月2日