2.35 演習問題 〜 テイラー級数展開

問 2.147 (テイラー級数展開)   関数 $f(x,y)$ を点 $(a,b)$ のまわりで点 $(a+h,b+k)$ について テイラー展開せよ． ただし，展開は 2 次までとし， $3$ 次の剰余項 $R_{3}$ も具体的に書き下して表せ．

問 2.148 (テイラー級数展開)   次の関数 $f(x,y)$ を点 $A$ のまわりで 点 $(x,y)$ についてテイラー展開せよ． ただし，展開が有限項で打ち切られるまで高次の展開をせよ．
    (1)   $f(x,y)=x^2y+4y-5$,     $A(1,-1)$
    (2)   $f(x,y)=x-3x^2y^2+2xy-4y^2$,     $A(2,1)$
    (3)   $f(x,y)=x^3-2xy-y^2+3x+4y$,     $A(1,-1)$
    (4)   $f(x,y)=x^3-2y^3+x^2y+4xy^2-3x^2+2y^2+2xy+x+y+2$,     $A(1,-1)$

問 2.149 (テイラー級数展開)   次の関数 $f(x,y)$ を原点 $(0,0)$ のまわりで 点 $(h,k)$ について $1$ 次まででテイラー展開せよ．
    (1)   $f(x,y)=\cos(x+2y)$     (2)   $f(x,y)=e^{x+2y}$     (3)   $f(x,y)=e^{x-y}$

問 2.150 (テイラー級数展開)   次の関数 $f(x,y)$ を点 $A$ のまわりで点 $P$ についてテイラー展開せよ． ただし，展開は 2 次までとし， $3$ 次の剰余項 $R_{3}$ を無視し， $f$ の近似式 $\tilde{f}$ を求めよ．
    (4)   $f(x,y)=\sin(xy)$,     $A(\pi/2,1)$,    $P(x,y)$
    (5)   $f(x,y)=\cos(xy)$,     $A(\pi,1)$,      $P(\pi+h,1+k)$
    (6)   $${f(x,y)=\sin x\cos y}$$,     $A(-\pi/2,\pi/2)$,     $P(-\pi/2+h,\pi/2+k)$

問 2.151 (テイラー級数展開)   次の関数 $f(x,y)$ をマクローリン展開せよ． ただし，展開は 3 次までとし， $4$ 次の剰余項 $R_{4}$ を無視し， $f$ の近似式 $\tilde{f}$ を求めよ．
    (1)   $f(x,y)=\sin(x+y^2)$     (2)   $${f(x,y)=\frac{1+y}{x^2+(1+y)^2}}$$

平成20年2月2日