2.36 1 変数の陰関数

定義 2.152 (陰関数)   変数 $x$, $y$ が条件 $F(x,y)=0$ をみたすとき， $y$ は $x$ の関数 $y=f(x)$ であり， または $x$ は $y$ の関数 $x=g(y)$ であるとみなせる． すなわち，

$$F(x,f(x))=0, \qquad F(g(y),y)=0$$

により定義される関数 $f(x)$, $g(y)$ を， $F(x,y)=0$ で定義される陰関数（implicit function）という．

注意 2.153 (陽関数)   関数 $y=f(x)=ax+b$ や $y=f(x)=x^2$ などの関数は 陽に（explicit）表されているという．

定理 2.154 (陰関数の微分)   条件 $F(x,y)=0$ で定義される陰関数 $y=f(x)$ の導関数は， $F_y(x,y)\neq0$ のとき

$$\frac{dy}{dx}=f'(x)= -\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}$$

で与えられる．

（証明）     関数 $y=f(x)$ を $F(x,y)=0$ に代入すると

$$F(x,f(x))=0$$

である．両辺を $x$ で偏微分すると

$$=\frac{d}{dx}F(x,y)= F_x(x,y)\frac{\partial x}{\partial x}+ F_y(x,y)\frac{\partial y}{\partial x}= F_x(x,y)+ F_y(x,y)\frac{dy}{dx}$$ 0

となるので， $${\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}}$$ を得る．

例 2.155 (陰関数)   条件 $xe^{-y}=y\sin x$ で定義される陰関数 $y=f(x)$ の 導関数を求める．条件 $xe^{-y}=y\sin x$ の両辺を $x$ で微分すると

$$\frac{d}{dx}\left(xe^{-y}\right)= \frac{d}{dx}\left(y\sin x\right) \quad\Rightarrow\quad x'(e^{-y})+x(e^{-y})'= y'(\sin x)+y(\sin x)'$$

$$\quad\Rightarrow\quad e^{-y}-xy'e^{-y}= y'\sin x+y\cos x \quad\Rightarrow\quad e^{-y}-y\cos x= (\sin x+xe^{-y})y'$$

となるので，

$$y'=\frac{e^{-y}-y\cos x}{\sin x+xe^{-y}}$$

を得る．

例 2.156 (陰関数)   $xy$ 平面内の円 $F(x,y)=x^2+y^2-1=0$ を考える． このとき，$y$ は $x$ の関数 $y=f(x)$ とみなされる． これを陽に書くと

$$y=f(x)=\pm\sqrt{1-x^2}$$

となる．これは $2$ 価関数である． 多価関数のままでは取り扱いに面倒が多い． $y=f(x)$ を陰関数として取り扱い導関数を求める． 条件 $F(x,y)=0$ に $y=f(x)$ を代入すると

$$x^2+f(x)^2-1=0$$

である．両辺を $x$ で微分すると

$$2x+2f(x)f'(x)=0$$

となり，

$$y'=f'(x)=\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$$

を得る． さらに微分すると 2 階導関数と 3 階導関数は

$$y''=f''(x)=\frac{d^2y}{dx^2}= \frac{d}{dx}\left(-\frac{x}{y}\righ... ...y'}{y^2}= -\frac{1}{y}-\frac{x^2}{y^3}= -\frac{(x^2+y^2)}{y^3}= -\frac{1}{y^3},$$

$$y'''=f'''(x)=\frac{d^3y}{dx^3}= \frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{y^3}\right)= \frac{3y'}{y^4}= -\frac{3x}{y^5}$$

となる． $y$ は 2 価関数であるから $y'$, $y''$, $y'''$ も 2 価関数である．

次に，円 $F=0$ 上の 点 $(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$ において， 関数 $y=f(x)$ を点 $x=\frac{1}{2}$ まわりで テイラー展開する． $x=\frac{1}{2}$, $y=\frac{\sqrt{3}}{2}$ であることに 注意すると

$$f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad f'\left(\frac... ...t(\frac{1}{2}\right)}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^5}= -\frac{16}{3\sqrt{3}}$$

となるので，テイラー展開は

$$y =f\left(\frac{1}{2}\right)+ f'\left(\frac{1}{2}\right)\left(x-\fr... ...ht)+ \frac{1}{2}f''\left(\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+ \cdots$$

$$= \frac{\sqrt{3}}{2}- \frac{8}{3\sqrt{3}}\left(x-\frac{1}{2}\right)- \frac{8}{3\sqrt{3}}\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+ \cdots$$

と得られる．

例 2.157 (陰関数)   条件

$$F(x,y)=x^3+3xy+4xy^2+y^2+y-2=0$$

により定義される陰関数 $y=f(x)$ を考える． $y$ は陽に書くと， 2 次方程式

$$(4x+1)y^2+(3x+1)y+(x^3-2)=0$$

を解いて，

$$y=f(x)=\frac{3x+1\pm\sqrt{(3x+1)^2-4(4x+1)(x^3-2)}}{8x+2}$$

と表される． しかし，この形では取り扱いが面倒であるから， 陰関数として取り扱う． 導関数 $y'=f'(x)$ は

$$F_x=3x^2+3y+4y^2, \quad F_y=3x+8xy+2y+1$$

を用いて，

$$y'=f'(x)=-\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}= -\frac{3x^2+3y+4y^2}{3x+8xy+2y+1}$$

と求まる．

例 2.158 (陰関数)   条件 $F(x,y)=x^3+xy^2-2=0$ で定義される陰関数 $y=f(x)$ を考える． 条件 $x^3+xy^2-2=0$ の両辺を $x$ で微分すると

$$( )\qquad 0=(x^3+xy^2-2)'=(x^3)'+x'y^2+x(y^2)'+0= 3x^2+y^2+2xyy'$$

となる．よって

$$y'=-\frac{3x^2+y^2}{2xy}$$

を得る．(☆)をさらに $x$ で微分すると

$$=(3x^2+y^2+2xyy')'= 3(x^2)'+(y^2)'+2(x)'yy'+2x(y)'y'+2xy(y')'$$ 0

$$=6x+2yy'+2yy'+2xy'^2+2xyy''= 6x+4yy'+2xy'^2+2xyy''$$

$$= 6x+4y\left(-\frac{3x^2+y^2}{2xy}\right)+ 2x\left(-\frac{3x^2+y^2}{2xy}\right)^2+2xyy''$$

となる．両辺に $(2xy)^2$ を掛けてまとめると

$$=6x(2xy)^2-4y(3x^2+y^2)(2xy)+2x(3x^2+y^2)+2xyy''(2xy)^2$$ 0

$$=9x^4-3y^4+6x^2y^2+4x^2y^3y''= 3(3x^2-y^2)(x^2+y^2)+4x^2y^3y''$$

となる．また条件より $x^2+y^2=2/x$ であることを用いると

$$y''=-\frac{3(3x^2-y^2)(x^2+y^2)}{4x^2y^3}= -\frac{3(3x^2-y^2)}{2x^3y^3}$$

を得る．

曲線 $F=0$ 上の点 $(1,1)$ において，関数 $y=f(x)$ を $x=1$ の まわりでテイラー展開する． $(x,y)=(1,1)$ であることを用いて

$$f(1)=1, \quad f'(1)=-2, \quad f''(1)=-3$$

であるから，

$$f(x) =f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{1}{2}f''(1)(x-1)^2+\cdots =1-2(x-1)-\frac{3}{2}(x-1)^2+\cdots$$

と得られる．

問 2.159 (陰関数)   次の条件で定義される陰関数 $y=f(x)$ の導関数を求めよ．

(1)     $x^3+3x^2y+2xy^2+3y^3=4$      (2)     $x+y=e^{xy}$      (3)     $${\log(x^2+y^2)=2\tan^{-1}\frac{y}{x}}$$

平成20年2月2日