2.41 演習問題 〜 陰関数，接線，接平面

問 2.179 (陰関数)   次の条件から定まる陰関数 $y=y(x)$ について $y'(x)$ を求めよ．
    (1)   $x^3+3xy+y^3=0$     (2)   $${xe^{-y}=y\sin x}$$     (3)   $${y=x^y}$$     (4)   $${\left(\frac{x}{a}\right)^\frac{2}{3} +\left(\frac{y}{b}\right)^\frac{2}{3}=1} \quad(a,b>0)$$
    (5)   $${\log\sqrt{x^2+y^2}=\mathrm{Tan}^{-1}\frac{y}{x}}$$     (6)   $x^3+4xy^2-3y^4=0$     (7)   $x^3+3xy+y^3=0$     (8)   $${y=x^y}$$
    (9)   $${xe^{-y}=y\sin x}$$     (10)   $${\log\sqrt{x^2+y^2}=\mathrm{Tan}^{-1}\frac{y}{x}}$$

問 2.180 (陰関数)   次の条件から定まる陰関数 $y=y(x)$ について $y'(x),y''(x)$ を求めよ．
    (1)   $${x^2+2xy+2y^2=1}$$     (2)   $y^3-xy^2-x+1=0$     (3)   $x^2+2xy-y^2=1$

問 2.181 (陰関数)   次の条件から定まる陰関数 $z=z(x,y)$ について $z_x(x,y),z_y(x,y)$ を求めよ．
    (1)   $${x^2+y^2+z^2+2x+2y+2z=0}$$     (2)   $${z^x=y^z}$$     (3)   $3xy-2x^2yz^2-5yz^3-z=0$
    (4)   $(x+y+z)\,e^{xyz}=1$

問 2.182 (陰関数)   次の条件から定まる陰関数 $z=z(x,y)$ について $z_x,z_y,z_{xx},z_{yy},z_{xy}$ を求めよ．
    (1)   $${x^2+z^2+4xy-2yz=0}$$     (2)  $z^x=xy$

問 2.183 (陰関数の接線とテイラー展開)   $xy$ 平面内の曲線 $F=0$ とこの曲線上の点 $P(a,b)$ を考える． $F=0$ で定義される陰関数を $y=f(x)$ とおく． 点 $P$ における曲線 $F=0$ の接線の方程式を求めよ． また，関数 $f(x)$ を $x=a$ まわりでテイラー展開し 1 次近似せよ．
    (1)   $F=x^3-xy-y^3+y=0$,    $P(1,1)$
    (2)   $F=x^2-4xy+2y^5+y=0$,    $P(1,1)$
    (3)   $F=3x^2-xy^3+2xy+y-x=0$,    $P(1,2)$

問 2.184 (接線)   $xy$ 平面内の曲線 $F=0$ の点 $P$ における接線の方程式を求めよ．
    (1)   $F=x^2-3xy^2+5x+y=0$,    $P(-1,1)$     (2)   $F=xy\cos(xy)=0$,     $P\left(\pi/2,1\right)$
    (3)   $F=e^{x-2y}-x+y=0$,    $P(2,1)$

問 2.185 (陰関数の接平面とテイラー展開)   $xyz$ 空間内の曲面 $F=0$ とこの曲面上の点 $P(a,b,c)$ を考える． $F=0$ で定義される陰関数を $z=f(x,y)$ とおく． 点 $P$ における曲面 $F=0$ の接平面の方程式を求めよ． また，関数 $f(x,y)$ を点 $(a,b)$ まわりで $(x,y)$ について テイラー展開し 1 次近似 $\tilde{f}(x,y)$を求めよ．
    (1)   $F=xz+yz-z^2-4=0$,    $P(9,-4,1)$
    (2)   $F=xy^2+yz^2+x^2-z-8=0$,    $P(-3,1,2)$

問 2.186 (接平面)   $xyz$ 空間内の曲面 $F=0$ の点 $P$ における接平面の方程式をそれぞれ求めよ．
    (1)   $F=x^2+y^2+z^2-2=0$,     $P\left(\frac{2}{3}, -\frac{2\sqrt{2}}{3}, -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)$
    (2)   $${F=\frac{x^2-2xy+y^2-yz+z^2-3zx}{x+y+z}-1=0}$$,      $${P\left(2,-1,2\right)}$$
    (3)   $${F=\sin (x+\pi y)+\cos (\pi y-2z)=0}$$,      $${P\left(0,1,\frac{\pi}{4}\right)}$$

平成20年2月2日