2.42 極値

定義 2.187 (極値)   関数 $f(x,y)$ が， 点 $(a,b)$ とその任意の近傍の点 $(a+h,b+k)$ に対して

$$f(a,b)>f(a+h,b+k)$$

をみたすとき，$f(x,y)$ は点 $(a,b)$ で 極大値 $f(a,b)$ をとるという． また，

$$f(a,b)<f(a+h,b+k)$$

をみたすとき，$f(x,y)$ は点 $(a,b)$ で 極小値 $f(a,b)$ をとるという． 極大値，極小値を総称して極値という．

定理 2.188 (極値の必用条件)   関数 $f(x,y)$ が点 $(a,b)$ で極値をとるとき，

$$f_x(a,b)=0, \qquad f_y(a,b)=0$$

が成り立つ． （注意）逆は成り立たない．

（証明）     平面 $y=b$ と曲面 $z=f(x,y)$ との共有点からなる曲線 $z=f(x,b)$ は $x$ についての 1 変数関数であり， $f(x,y)$ が極値をとるとき $f(x,b)$ も極値をとる． よって， $f_x(a,b)=0$ となる． 同様にして，平面 $x=a$ を考えると $f_y(a,b)=0$ を得る．

注意 2.189 (極値と接平面)   関数 $f(x,y)$ は点 $(a,b)$ で極値をとるとする． このとき $f_{x}(a,b)=0$, $f_{y}(a,b)=0$ であるから， $f(x,y)$ を点 $(a,b)$ のまわりでテイラー展開すると

$$f(x,y) =f(a,b)+ \frac{1}{2}f_{xx}(a,b)(x-a)^2+ f_{xy}(a,b)(x-a)(y-b)+ \frac{1}{2}f_{yy}(a,b)(y-b)^2+\cdots$$

となり，1 次の項は存在しない． また， 曲面 $z=f(x,y)$ の点 $(a,b)$ における接平面の方程式は

$$z=f(a,b)$$

となり，法線ベクトルは

$$\vec{n}= \begin{bmatrix}f_x(a,b) \\ f_y(a,b) \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}$$

である．接平面は $xy$ 平面に平行である．

例 2.190 (極値の計算例)   関数 $f(x,y)=x^4+y^4$ の極値を考える． 連立方程式

$$f_x(x,y)=4x^3=0, \quad f_y(x,y)=4y^3=0$$

を解くと候補の点 $(x,y)=(0,0)$ を得る． このとき点 $(0,0)$ とその任意の近傍の点 $(h,k)$ に対して，

$$f(h,k)-f(0,0)=h^4+k^4>0 \quad\Rightarrow\quad f(h,k)>f(0,0)$$

が成り立つ． よって関数 $f(x,y)$ は極小値 $f(0,0)=0$ をとる．

例 2.191 (鞍点)   関数 $f(x,y)=x^2-y^2$ の極値を考える． 連立方程式

$$f_x(x,y)=2x=0, \quad f_y(x,y)=-2y=0$$

を解くと候補の点 $(x,y)=(0,0)$ を得る． しかし，$f(0,0)=0$ は極値とはならない． なぜなら，点 $(0,0)$ と $x$ 軸方向にずれた近傍の点 $(h,0)$ に対しては，

$$f(h,0)-f(0,0)=h^2>0 \quad\Rightarrow\quad f(h,0)>f(0,0)$$

となり，$f(0,0)$ は極小となる． 一方， 点 $(0,0)$ と $y$ 軸方向にずれた近傍の点 $(0,k)$ に対しては，

$$f(0,k)-f(0,0)=-k^2<0 \quad\Rightarrow\quad f(0,k)<f(0,0)$$

となり，$f(0,0)$ は極大となる． このようにある方向では極小であり， また別の方向では極大となる点のことを 鞍点（saddle point）という．

定理 2.192 (極値)   関数 $f(x,y)$ において点 $(a,b)$ が $f_x(a,b)=0$, $f_y(a,b)=0$ をみたすとき， $f(a,b)$ が極値となるための判定条件は次の通りである． ただし，

$$D(a,b)=f_{xy}(a,b)^2-f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b)$$

とおく．

(i).

$D(a,b)<0$, $f_{xx}(a,b)>0$ のとき， $f(x,y)$ は点 $(a,b)$ で極小値をとる．

(ii).

$D(a,b)<0$, $f_{xx}(a,b)<0$ のとき， $f(x,y)$ は点 $(a,b)$ で極大値をとる．

(iii).

$D(a,b)>0$ のとき， $f(x,y)$ は点 $(a,b)$ で極値をとらない．

(iv).

$D(a,b)=0$ のとき，個別に判定する．

（証明）     点 $(a,b)$ から点 $(a+h,b+k)$ への増分を $\Delta f(a,b)$ とする． $f(a+k,b+k)$ をテイラー展開し， $f_{x}(a,b)=0$, $f_y(a,b)=0$ であることを 用いると，

$$\Delta f(a,b) =f(a+h,b+k)-f(a,b)= f_{xx}(a,b)h^2+2f_{xy}(a,b)hk+f_{yy}(a,b)k^2+o(\rho^2)$$

$$= \frac{1}{2}\left( \alpha h^2+2\beta hk+\gamma k^2 \right)+o(\rho^2)$$

と表される． ただし，簡単のために

$$\alpha=f_{xx}(a,b),\quad \beta=f_{xy}(a,b),\quad \gamma=f_{y}(a,b)$$

とおいた． $\Delta f(a,b)$ を $h$ の 2 次多項式

$$2\Delta f(a,b)=\alpha\,h^2+2(\beta k)h+(\gamma k^2)+o(\rho^2)$$

であるとみると，この判別式は

$$\tilde{D}=(\beta k)^2-\alpha(\gamma k^2)=k^2(\beta^2-\alpha\gamma)=k^2D$$

である．よって，

$$D<0,\quad \alpha>0 \quad\Rightarrow\quad \Delta f(a,b)>0 \quad\Rightarrow\quad f(a+h,b+k)>f(a,b) \quad\Rightarrow f(a,b)$$

$$D<0,\quad \alpha<0 \quad\Rightarrow\quad \Delta f(a,b)<0 \quad\Rightarrow\quad f(a+h,b+k)<f(a,b) \quad\Rightarrow f(a,b)$$

が成り立つ． $D$ が正のとき $h$ に応じて $\Delta f(a,b)$ は正と負と両方の値をとりうる． よって，$f(a,b)$ は極値とはならない． また，$k$ の 2 次多項式と考えたときも同様の結果を得る．

例 2.193 (極値の計算例)   関数 $f(x,y)=x^2+y^2$ の極値を求める． 連立方程式

$$f_x=2x=0, \qquad f_y=2y=0$$

を解くと極値の候補として $(x,y)=(0,0)$ を得る．このとき，

$$f_{xx}=2>0, \quad f_{xy}=0, \quad f_{yy}=2, \quad D=f_{xy}{}^2-f_{xx}f_{yy}=-4<0$$

となる． よって，$f(0,0)=0$ は極小値である．

例 2.194 (極値の計算例)   関数 $f(x,y)=x^2+y^3$ の極値を求める． 連立方程式

$$f_x=2x=0, \qquad f_y=3y^2=0$$

を解くと極値の候補として $(x,y)=(0,0)$ を得る．このとき，

$$f_{xx}(x,y)=2, \quad f_{xy}(x,y)=0, \quad f_{yy}(x,y)=6y, \quad D(x,y)=f_{xy}{}^2-f_{xx}f_{yy}=-12y$$

となる． $D(0,0)=0$ であるから判別式 $D$ を用いて極値となるかは判定できない． そこで，点 $(0,0)$ と その近傍の点 $(0,k)$, $(0,-k)$ を考える． ただし， $k>0$ とする． このとき，

$$f(0,k)-f(0,0)=k^3>0 \quad \Rightarrow\quad f(0,k)>f(0,0)$$

$$f(0,-k)-f(0,0)=-k^3<0 \quad \Rightarrow\quad f(0,-k)<f(0,0)$$

が成り立つ． 点 $(0,0)$ から $y$ 軸正の方向には増加傾向であり， $y$ 軸負の方向には減少傾向となるので， $f(0,0)=0$ は極値ではない．

例 2.195 (極値の計算例)   関数 $f(x,y)=x^2+y^2-2x+4y+10$ の極値を求める． 連立方程式

$$f_x=2x-2=0, \qquad f_y=2y+4=0$$

を解くと極値の候補として $(x,y)=(1,-2)$ を得る．このとき，

$$f_{xx}=2>0, \quad f_{xy}=0, \quad f_{yy}=2, \quad D=f_{xy}{}^2-f_{xx}f_{yy}=-4<0$$

となる． よって，$f(1,-2)=5$ は極小値である．

例 2.196 (極値の計算例)   関数 $f(x,y)=x^3+y^3+3xy+2$ の極値を求める． 連立方程式

$$f_x=3x^2+3y=0, \qquad f_y=3y^2+3x=0$$

を解く． 第 1 式を $y=-x^2$ と変形して第 2 式に代入すると

$$x(x^3+1)=0$$

となる．これを解くと，極値の候補として

$$(x,y)=(0,0), (-1,-1)$$

を得る．このとき，

$$f_{xx}(x,y)=6x, \quad f_{xy}(x,y)=3, \quad f_{yy}(x,y)=6y, \quad D(x,y)=f_{xy}{}^2-f_{xx}f_{yy}= 9-36xy$$

を用いて極値であるか判定する． まず， $(x,y)=(0,0)$ の場合． $D(0,0)=9>0$ より $f(0,0)=2$ は極値ではない． 次に， $(x,y)=(-1,-1)$ の場合． $D(-1,-1)=-27<0$, $f_{xx}(-1,-1)=-6<0$ より， $f(-1,-1)=1$ は極大値である．

平成20年2月2日