3.6 演習問題 〜 多重積分，累次積分，積分の順序の交換

問 3.34 (累次積分)   次の多重積分を計算せよ．
    (1)   $${\iint_{D_{1}}(2-x+y)\,dxdy}$$     (2)   $${\iint_{D_{2}}ye^{xy}\,dxdy}$$     (3)   $${\iint_{D_3}x^2y\,dxdy}$$     (4)   $${\iint_{D_4}(x^3-3xy)\,dxdy}$$

問 3.35   積分領域を図示し，多重積分を計算せよ.
    (1)   $${\iint_{D}xe^y\,dxdy}$$,     $D=\{(x,y)\,\vert\,0\leq x\leq 2,\,\, x^2\leq y\leq 2x\}$
    (2)   $${\iiint_{D}2xz\,dxdydz}$$,     $D=\Bigl\{(x,y,z)\,\Bigl\vert\,0\leq x\leq 1,\,\,0\leq y\leq x, \left.0\leq z\leq \sqrt{2-x^2-y^2}\,\right\}$
    (3)   $${\iiint_{D}y\sin(x+z)\,dxdydz}$$,     $${D=\left\{(x,y,z)\,\vert\,0\leq x\leq \frac{\pi}{2}, \,0\leq y\leq\sqrt{x},\,0\leq z\leq \frac{\pi}{2}-x\right\}}$$
    (4)   $${\iint_{D}(3x-2y)\,dxdy}$$,     $D=\{(x,y)\,\vert\,0\leq x\leq1, 1\leq y\leq 2\}$
    (5)   $${\iint_{D}(x^2+y^2)\,dxdy}$$,     $D=\{(x,y)\,\vert\,0\leq x\leq1, 0\leq y\leq 1\}$
    (6)   $${\iint_{D}\,dxdy=\pi}$$,     $D=\{(x,y)\,\vert\,x^2+y^2\leq 1\}$ となることを示せ．     (7)   $${\int_{0}^{2}\!\!dx\int_{x^2}^{2x}\!\!\!\!xe^{y}\,dy}$$
    (8)   $${\iiint_{D}(xy+yz+zx)\,dxdydz}$$,     $D=\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{0\leq x\leq 1,\,0\leq y\leq x,\,0\leq z\leq y}\,\right\}$
    (9)   $${\iint_{D}xe^{x+y}\,dxdy}$$,     $${D=\{(x,y)\,\vert\,0\leq x\leq 3,\: 0\leq y\leq 2\}}$$
    (10)   $${\iint_{D}x^2\sin(xy)\,dxdy}$$,     $${D=\{(x,y)\,\vert\,0\leq x\leq \pi/2,\: 0\leq y\leq 1\}}$$
    (11)   $${\iint_{D}x\cos(x+y)\,dxdy}$$,     $${D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{0\leq x\leq \pi/2,\: 0\leq y\leq 1}\,\right\}}$$
    (12)   $${\iint_{D}r\,drd\theta}$$,     $${D=\left\{\left.\,{(r,\theta)}\,\,\right\vert\,\,{0\leq r\leq a\sin\theta,\:0\leq \theta\leq\pi/2}\,\right\}}$$

問 3.36 (積分の順序の交換)   $\Box$ を埋めて次の式を完成させよ． ただし $D_{4}$ は上記の図の領域とする．

$$\iint_{D_{4}}f(x,y)\,dxdy =\int^{\Box}_{\Box}\!dx\int^{\Box}_{\Box}\!dy\, f(x,y) =\int^{\Box}_{\Box}\!dy\int^{\Box}_{\Box}\!dx\, f(x,y)$$

問 3.37 (積分の順序の交換)   次の積分の領域を図示し，積分の順序を変更せよ．
    (1)   $${\int^{1}_{-1}dx\int^{2\sqrt{1-x^2}}_{0} f(x,y)\,dy}$$              (2)   $${\int^{4}_{0}dy\int^{\sqrt{y}}_{y-2} f(x,y)\,dx}$$

平成20年2月2日