3.11 3 次元極座標への置換積分

3.53 (多重積分の変数変換)   多重積分

$\displaystyle I=\iiint_{D}(x^2+y^2+z^2)\,dxdydz, \qquad D=\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2+z^2\leq a^2}\,\right\}\quad(a>0)$    

を求める. 積分変数を

$\displaystyle x=r\sin\theta\cos\varphi, \quad y=r\sin\theta\sin\varphi, \quad z=r\cos\theta$    

とおく. このとき極座標への座標変換のヤコビアンは

$\displaystyle \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,\varphi)}= \det \begin{b...
...\theta\cos\varphi \\ \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \end{vmatrix} =r^2\sin\theta$    

であるから,体積素は

$\displaystyle dxdydz=r^2\sin\theta\,drd\theta d\varphi$    

と表される. 領域 $ D$ $ (r,\theta,\varphi)$ で表すと,

$\displaystyle E=\left\{\left.\,{(r,\theta,\varphi)}\,\,\right\vert\,\,{0\leq r\leq a,\,\,0\leq\theta\leq\pi\,\,,0\leq\varphi\leq2\pi}\,\right\}$    

となる. これらより,

  $\displaystyle \iiint_D(x^2+y^2+z^2)\,dxdydz= \iiint_E((r\sin\theta\cos\varphi)^2+ (r\sin\theta\sin\varphi)^2+ (r\cos\theta)^2)r^2\sin\theta\,drd\theta d\varphi$    
  $\displaystyle = \iiint_Er^4\sin\theta\,drd\theta d\varphi= \int_{0}^{2\pi}d\var...
...\left(\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta\right) \left(\int_{0}^{a}r^4\,dr\right)$    
  $\displaystyle = \left[\vrule height1.5em width0em depth0.1em\,{\varphi}\,\right...
...1.5em width0em depth0.1em\,{\frac{r^5}{5}}\,\right]_{0}^{a}= \frac{4\pi a^5}{5}$    

を得る.

3.54 (多重積分の変数変換)   $ I$ を次の累次積分を計算して求めよ.

$\displaystyle I= \iiint_{D}(x^2+y^2+z^2)\,dxdydz= \int_{-a}^{a}dx \int_{-a}^{a}dy \int_{-\sqrt{a^2-x^2-y^2}}^{\sqrt{a^2-x^2-y^2}} dz\,(x^2+y^2+z^2)$    

\includegraphics[width=0.35\textwidth]{chikan-polar3-D.eps} \includegraphics[width=0.35\textwidth]{polar3.eps} \includegraphics[width=0.35\textwidth]{chikan-polar3-E.eps}
(a) 領域 $ D$ (b) 極座標 (c) 領域 $ E$

3.55 (累次積分)   3 重積分

$\displaystyle I=\iiint_Dx\,dxdydz, \quad D=\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{ x^2+y^2+z^2\leq a^2,\,\, x\geq0,\,\, y\geq0,\,\, z\geq0}\,\right\}$    

を求める. 3 次元の極座標に置き換えると 領域 $ D$

$\displaystyle E=\left\{\left.\,{(r,\theta,\varphi)\vrule height1em width0em dep...
...\,\, 0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}\,\,, 0\leq\varphi\leq\frac{\pi}{2}}\,\right\}$    

となる. 積分は

$\displaystyle I$ $\displaystyle =\iiint_E(r\sin\theta\cos\varphi)r^2\sin\theta\, drd\theta d\varp...
...\frac{\pi}{2}}\sin^2\theta\,d\theta \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos\varphi\,d\varphi$    
  $\displaystyle = \left[\vrule height1.5em width0em depth0.1em\,{\frac{r^4}{4}}\,...
...dth0em depth0.1em\,{\sin\varphi}\,\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{16}a^4$    

と求まる.


平成20年2月2日