3.12 演習問題 〜 多重積分の積分変数の変換

問 3.56 (積分変数の変換)   多重積分

$$I=\iint_{D}(2x+3y)^2e^{4x-3y}\,dxdy,\quad D=\{(x,y)\,\vert\,\vert 2x+3y\vert\leq 1,\,\vert 2x-3y\vert\leq 1\}$$

を求める．次の問に答えよ．
    (1)   領域 $D$ を図示せよ．     (2)   領域 $D$ と 領域 $${E=\{(u,v)\,\vert\,\vert u\vert\leq 1,\,\vert v\vert\leq 1\}}$$ が等価となるように座標変換 $(x,y)\to(u,v)$ を定めよ．     (3)  ヤコビアン $${ \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}}$$ を求めよ．     (4)  多重積分 $I$ を求めよ．

問 3.57 (積分変数の変換)   多重積分

$$I=\iint_{D}(x+y)^2\,dxdy,\quad D=\{(x,y)\,\vert\,-1\leq y+x\leq 3, -5\leq y-x\leq 4\}$$

を求める．次の問に答えよ．
    (1)   領域 $D$ を図示せよ．     (2)   座標変換 $(x,y)\to(u,v)$; $${x=\frac{u+v}{2}}$$, $${y=\frac{-u+v}{2}}$$ を行なう． 領域 $D$ と等価な $(u,v)$ に関する 領域 $E$ を求め，さらに図示せよ．     (3)   ヤコビアン $${ \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}}$$ を求めよ．     (4)  多重積分 $I$ を求めよ．

問 3.58 (積分変数の変換)   多重積分

$$I=\iint_{D}x^4(y-x^2)\,dxdy,\quad D=\{(x,y)\,\vert\,0\leq y-x^2\leq 1, -1\leq x\leq 1\}$$

を求める．次の問に答えよ．
    (1)  領域 $D$ を図示せよ．     (2)  座標変換 $(x,y)\to(u,v)$; $${x=u}$$, $${y=u^2+v}$$ を行なう． 領域 $D$ と等価な $(u,v)$ に関する領域 $E$ を求め，さらに図示せよ．     (3)  ヤコビアン $${ \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}}$$ を 求めよ．     (4)  多重積分 $I$ を求めよ．

問 3.59 (積分変数の変換)   多重積分

$$I=\iint_{D}\sqrt{1-x^2-y^2}\,dxdy,\quad D=\{(x,y)\,\vert\,x^2+y^2\leq 1\}$$

を求める．次の問に答えよ．
    (1)  領域 $D$ を図示せよ．     (2)  座標変換 $(x,y)\to(r,\theta)$; $${x=r\cos\theta}$$, $${y=r\sin\theta}$$ を行なう． 領域 $D$ と等価な $(r,\theta)$ に関する 領域 $E$ を求め，さらに図示せよ．     (3)  ヤコビアン $${\frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta)}}$$ を求めよ．     (4)  多重積分 $I$ を求めよ．

問 3.60 (積分変数の変換)   多重積分

$$I=\iint_{D}(x+y)^2\,dxdy,\quad D=\{(x,y)\,\vert\,x^2+y^2\leq9\}$$

を求める．次の問に答えよ．
    (1)  領域 $D$ を図示せよ．     (2)  座標変換 $(x,y)\to(r,\theta)$; $${x=r\cos\theta}$$, $${y=r\sin\theta}$$ を行なう． 領域 $D$ と等価な $(r,\theta)$ に関する 領域 $E$ を求め，さらに図示せよ．     (3)  ヤコビアン $${\frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta)}}$$ を求めよ．     (4)  多重積分 $I$ を求めよ．

問 3.61 (積分変数の変換)   多重積分

$$I=\iiint_{D}(yz+zx)\,dxdydz,\quad D=\{(x,y,z)\,\vert\,x^2+y^2+z^2\leq4,\,y\geq0,\,z\geq0\}$$

を求める．次の問に答えよ．
    (1)   座標変換 $(x,y,z)\to(r,\theta,\varphi)$; $${x=r\sin\theta\cos\varphi}$$, $${y=r\sin\theta\sin\varphi}$$, $${z=r\cos\theta}$$ を行なう． 領域 $D$ と等価な $(r,\theta,\varphi)$ に関する 領域 $E$ を求めよ．     (2)  ヤコビアンが $${\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,\varphi)}= r^2\sin\theta}$$ であることを用いて，多重積分 $I$ を求めよ．

平成20年2月2日