3.14 曲面積

定理 3.70 (曲面積)   関数 $ z=f(x,y)$ による曲面

$\displaystyle B=\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{z=f(x,y),\,\, (x,y)\in D}\,\right\}$    

曲面積

$\displaystyle S=\iint_{D}\sqrt{1+f_x(x,y)^2+f_y(x,y)^2}\,dxdy$    

で与えられる.

3.71 (球面の表面積)   半径 $ a$ の球面は

$\displaystyle B=\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2+z^2=a^2}\,\right\}$    

である.表面積 $ S$ は 8 等分して

  $\displaystyle S=8\iint_{D}\sqrt{1+(z_x)^2+(z_y)^2}\,dxdy,$    
  $\displaystyle z=\sqrt{a^2-x^2-y^2},$    
  $\displaystyle D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2\leq a^2,\,\, x\ge0,\,\, y\ge0}\,\right\}$    

により求まる. $ z$ $ x^2+y^2=a^2$ により定まる陰関数であるから,

$\displaystyle z_x=-\frac{x}{z}, \quad z_y=-\frac{y}{z}$    

となる. 被積分関数は

$\displaystyle \sqrt{1+(z_x)^2+(z_y)^2}= \sqrt{1+\frac{x^2}{z^2}+\frac{y^2}{z^2}}= \sqrt{\frac{x^2+y^2+z^2}{z^2}}= \frac{a}{z}= \frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}$    

であらから,表面積は

$\displaystyle S$ $\displaystyle = 8a\iint_{D}\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}dxdy= 8a\iint_{E}\frac{r...
...theta= 8a\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta \int_{0}^{a}\frac{r}{\sqrt{a^2-r^2}}dr$    
  $\displaystyle = 8a \left[\vrule height1.5em width0em depth0.1em\,{\theta}\,\rig...
...rule height1.5em width0em depth0.1em\,{-\sqrt{a^2-r^2}}\,\right]_0^a = 4\pi a^2$    

と得られる.

3.72 (曲面積)   曲面

$\displaystyle B=\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2+z^2=a^2,\,\,x^2+y^2\leq ax,\,\,z\ge0}\,\right\} \quad(a>0)$    

の曲面積

$\displaystyle S=\iint_{D}\sqrt{1+(z_x)^2+(z_y)^2}\,dxdy, \quad z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}, \quad D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2\leq ax}\,\right\}$    

を求める. $ z$ $ x^2+y^2+z^2=a^2$ により定まる陰関数であるから,

$\displaystyle z_x=-\frac{x}{z}, \qquad z_y=-\frac{y}{z}$    

となり,

$\displaystyle \sqrt{1+(z_x)^2+(z_y)^2}= \sqrt{1+\frac{x^2}{z^2}+\frac{y^2}{z^2}...
...^2+y^2+z^2}{z^2}}= \sqrt{\frac{a^2}{a^2-x^2-y^2}}= \frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}$    

を得る.これを用いると曲面積は

$\displaystyle S$ $\displaystyle =a \iint_{D}\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}dxdy= a \iint_{E}\frac{r}...
...pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}d\theta \int_{0}^{a\cos\theta}\frac{r}{\sqrt{a^2-r^2}}dr$    
  $\displaystyle = a \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}d\theta \left[\vrule hei...
...t\right)d\theta =2a^2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left(1-\sin\theta\right)d\theta$    
  $\displaystyle = 2a^2 \left[\vrule height1.5em width0em depth0.1em\,{\theta+\cos\theta}\,\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = (\pi-2)a^2$    

と求まる.

3.73 (曲面積)   次の曲面 $ B$ の曲面積 $ S$ を求めよ.ただし $ a>0$ とする.

$\displaystyle (1)$ $\displaystyle \quad B=\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{x+y+z=a,\,\, x\ge0,\,\,y\ge0,\,\,z\ge0}\,\right\}$    
$\displaystyle (2)$ $\displaystyle \quad B=\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{z=xy,\,\, x^2+y^2\leq a^2}\,\right\}$    
$\displaystyle (3)$ $\displaystyle \quad B=\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{z=\tan^{-1}\frac{y}{z},\,\, x^2+y^2\leq a^2,\,\, x\ge0,\,\,y\ge0,\,\,z\ge0}\,\right\}$    
$\displaystyle (4)$ $\displaystyle \quad B=\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{y^2+z^2=a^2,\,\, x^2+y^2\leq a^2}\,\right\}$    
$\displaystyle (5)$ $\displaystyle \quad B=\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{y^2+z^2=a^2,\,\, x^2+y^2+z^2\leq 2a^2}\,\right\}$    
$\displaystyle (6)$ $\displaystyle \quad B=\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{z=x^2+y^2,\,\, z\leq a}\,\right\}$    


平成20年2月2日