3.15 多重積分の広義積分への応用

3.74 (多重積分の広義積分への応用)   広義積分

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx=\sqrt{\pi}$    

を求める. 関数 $ f(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2}$誤差関数またはガウシアン(Gaussian)といい, 正規分布関数に用いられる.

まず,円の内部の領域 $ D$ と正方形の領域 $ \tilde{D}$

$\displaystyle D(a)=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2\leq a}\,\r...
...left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{-a\leq x\leq a,\,\, -a\leq y\leq a}\,\right\}$    

とおき,多重積分

$\displaystyle I=\iint_{D(a)}e^{-(x^2+y^2)}dxdy, \qquad \tilde{I}=\iint_{\tilde{D}(a)}e^{-(x^2+y^2)}dxdy$    

を考える. $ I$ を計算すると

$\displaystyle I$ $\displaystyle = \iint_{D(a)}e^{-(x^2+y^2)}dxdy= \iint_{E(a)}e^{-(r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta)}rdrd\theta= \int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{a}re^{-r^2}dr$    
  $\displaystyle = \left(\int_0^{2\pi}d\theta\right) \left(\int_0^{a}re^{-r^2}dr\r...
...1.5em width0em depth0.1em\,{-\frac{1}{2}e^{-r^2}}\,\right]_0^a= \pi(1-e^{-a^2})$    

となる.ここで,

$\displaystyle E(a)=\left\{\left.\,{(r,\theta)}\,\,\right\vert\,\,{0\leq r\leq a,\,\, 0\leq\theta\leq2\pi}\,\right\}$    

である. $ \tilde{I}$ を計算すると

$\displaystyle \tilde{I}$ $\displaystyle = \iint_{\tilde{D}(a)}e^{-(x^2+y^2)}dxdy= \int_{-a}^{a}e^{-x^2}dx...
...2}dy= \left(\int_{-a}^{a}e^{-x^2}dx\right) \left(\int_{-a}^{a}e^{-y^2}dy\right)$    
  $\displaystyle = \left(\int_{-a}^{a}e^{-x^2}dx\right)^2$    

となる.

次に,領域 $ D(a)$, $ \tilde{D}(a)$, $ D(\sqrt{2}a)$ を考える. これらは下図 (b) のように包含関係

$\displaystyle D(a)\subset \tilde{D}(a)\subset D(\sqrt{2}a)$    

があり, 領域の面積には

$\displaystyle S(D(a))<S(\tilde{D}(a))<S(D(\sqrt{2}a))$    

と大小関係がある. 同じ正の関数に対する異なる領域での多重積分は, 領域の面積が大きい方が多重積分の値は大きくなる. よって,

$\displaystyle \iint_{D(a)}e^{-(x^2+y^2)}dxdy < \iint_{\tilde{D}(a)}e^{-(x^2+y^2)}dxdy < \iint_{D(\sqrt{2}a)}e^{-(x^2+y^2)}dxdy$    

が成り立つ. これは先ほどの計算結果より

$\displaystyle \pi(1-e^{-a^2})< \left(\int_{-a}^{a}e^{-x^2}dx\right)^2 < \pi(1-e^{-2a^2})$    

となる. $ a\to\infty$ の極限をとるとはさみうちの定理より,

$\displaystyle \left(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx\right)^2=\pi$    

を得る.よって,

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}$    

が成り立つ.

\includegraphics[width=0.45\textwidth]{gauss-f.eps} \includegraphics[width=0.45\textwidth]{gauss-D.eps}
(a) $ e^{-x^2}$ (b) 領域 $ D(a)$, $ \tilde{D}(a)$, $ D(\sqrt{2}a)$


平成20年2月2日