3.17 有向曲線

定義 3.78 (有向曲線)   向き付きの曲線

$\displaystyle C=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=\varphi(t),y=\psi(t),\,t:a\to b}\,\right\}$    

有向曲線(oriented curve)という.

注意 3.79 (有向曲線)   始点と終点が同じであり,有向曲線が一周してもよい.

3.80 (有向曲線)   始点 $ (1,1)$ から終点 $ (2,3)$ まで 直線的に進む有向曲線は,

$\displaystyle C=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=t+1,\,\,y=2t+1,\,\,t:0\to 1}\,\right\}$    

と書ける.

3.81 (有向曲線)   単位円上を始点を $ (1,0)$ で反時計回りに一周するとき, $ x$, $ y$ をパラメータ表示すると

$\displaystyle x=\cos t,\qquad y=\sin t,\qquad t:0\to 2\pi$    

となる. この有向曲線は

$\displaystyle C=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=\cos t,\,\,y=\sin t,\,\,t:0\to2\pi}\,\right\}$    

と書ける. 時計回りに一周するときは, 有向曲線は

$\displaystyle C=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=\cos t,\,\,y=\sin t,\,\,t:2\pi\to0}\,\right\}$    

と書ける.

定義 3.82 (有向曲線)   $ a<c<b$ において,

  $\displaystyle C=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=\varphi(t),\,\,y=\psi(t),\,\,t:a\to b}\,\right\},$    
  $\displaystyle C_1=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=\varphi(t),\,\,y=\psi(t),\,\,t:a\to c}\,\right\},$    
  $\displaystyle C_2=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=\varphi(t),\,\,y=\psi(t),\,\,t:c\to b}\,\right\}$    

であるとき,

$\displaystyle C=C_1+C_2$    

と表記する.

定義 3.83 (有向曲線)   有向曲線

  $\displaystyle C=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=\varphi(t),\,\,y=\psi(t),\,\,t:a\to b}\,\right\},$    
  $\displaystyle \tilde{C}=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=\varphi(t),\,\,y=\psi(t),\,\,t:b\to a}\,\right\}$    

に対して,

$\displaystyle \tilde{C}=-C$    

と表記する.


平成20年2月2日