3.21 経路に依存しない線積分

定理 3.98 (グリーンの定理の使用例)   $\vec{f}(\vec{x})$ が $D$ で連続でかつ $g_x=f_y$ のとき，

$$\oint_{\partial D}\vec{f}(\vec{x})\cdot\,d\vec{x}= \iint_{D}(g_x-f_y)dxdy=0$$

が成り立つ．

例 3.99 (グリーンの定理の使用例)   任意の周回積分路 $C$ に対して，

$$I =\oint_{C}xy^2\,dx+x^2y\,dy=0$$

$$I =\oint_{C}\sin(x^2+3x+e^{x^2})\,dx+(y+y^5)e^{y^2-y}\,dy=0$$

が成り立つ．

注意 3.100 (経路によらない線積分)   任意の周回積分路 $C$ に対して，

$$I =\oint_{C}f(x,y)\,dx+g(x,y)\,dy=0$$

のとき， 点 $P$ から点 $Q$ への任意の積分路 $C_1$ に対する線積分は 一定となる． なぜなら，2 つの異なる点 $P$ から点 $Q$ への積分路を $C_1$, $C_2$ とする． このとき $C_1-C_2=C$ は周回する積分路となる． よって

$$I = \oint_{C}\vec{f}(\vec{x})\,\cdot d\vec{x}= \int_{C_1-C_2}\!\!\!... ...\vec{f}(\vec{x})\,\cdot d\vec{x}- \int_{C_2}\vec{f}(\vec{x})\,\cdot d\vec{x} =0$$

より，

$$\int_{C_1}\vec{f}(\vec{x})\,\cdot d\vec{x}= \int_{C_2}\vec{f}(\vec{x})\,\cdot d\vec{x}= \int_{P}^{Q}\vec{f}(\vec{x})\,\cdot d\vec{x}$$

を得る．

例 3.101 (経路に依存しない線積分)   任意の周回積分路に関して，

$$\oint_{C}xy^2\,dx+x^2y\,dy=0$$

が成り立つ． よって，任意の点 $P$, $Q$ に対して 線積分

$$I=\int_{P}^{Q}xy^2\,dx+x^2y\,dy$$

は積分の経路に依存しない． 例えば $P(1,0)$, $Q(2,1)$ とする． $P$ から $Q$ を直線的に進む経路を

$$C_{1}=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=t+1,\,\, y=t,\,\, t:0\to1}\,\right\}$$

とする．このとき線積分は

$$I =\int_{C_1}xy^2\,dx+x^2y\,dy= \int_{0}^{1}((t+1)t^2+(t+1)^2t)dt= \int_{0}^{1}(2t^3+3t^2+t)dt$$

$$= \left[\vrule height1.5em width0em depth0.1em\,{\frac{t^4}{2}+t^3+\frac{t^2}{2}}\,\right]_0^1=2$$

となる． また，$P$ から点 $(2,0)$ を経由し $Q$ へ進む経路を

$$C_{2}=C_{21}+C_{22},$$

$$C_{21}=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=t+1,\,\, y=0,\,\, t:0\to1}\,\right\},$$

$$C_{22}=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=2,\,\, y=t,\,\, t:0\to1}\,\right\}$$

とする．このとき線積分は

$$I =\int_{C_2}xy^2\,dx+x^2y\,dy= \int_{0}^{1}(0+0)dt+ \int_{0}^{1}(0... ...{1}4t\,dt = \left[\vrule height1.5em width0em depth0.1em\,{2t^2}\,\right]_0^1=2$$

となる． 異なる積分路 $C_1$, $C_2$ に対して積分の値は等しい． 他の経路に対しても同じ値をもつので，

$$I =\int_{(1,0)}^{(2,1)}xy^2\,dx+x^2y\,dy=2$$

と書ける．

平成20年2月2日