3.21 経路に依存しない線積分
定理 3.98 (グリーンの定理の使用例)が
で連続でかつ
のとき,
が成り立つ.
例 3.99 (グリーンの定理の使用例) 任意の周回積分路に対して,
が成り立つ.
注意 3.100 (経路によらない線積分) 任意の周回積分路に対して,
のとき, 点から点
への任意の積分路
に対する線積分は 一定となる. なぜなら,2 つの異なる点
から点
への積分路を
,
とする. このとき
は周回する積分路となる. よって
より,
を得る.
例 3.101 (経路に依存しない線積分) 任意の周回積分路に関して,
が成り立つ. よって,任意の点,
に対して 線積分
は積分の経路に依存しない. 例えば,
とする.
から
を直線的に進む経路を
とする.このとき線積分は
となる. また,から点
を経由し
へ進む経路を
とする.このとき線積分は
となる. 異なる積分路,
に対して積分の値は等しい. 他の経路に対しても同じ値をもつので,
と書ける.
平成20年2月2日