3.23 演習問題 〜 線積分

問 3.104 (線積分)   積分路 $C$ を図示しパラメータ表示し，線積分 $I$ を求めよ．
    (1)   $${I=\int_{C}(x^2+y^2)\,dx+2xy\,dy}$$,     $C:$ 点 $(2,1)$ から 点 $(5,-3)$ へ直線的に移動．
    (2)   $${I=\int_{C}x^2\,dx+2xy\,dy}$$,     $C:$ $(1,1)$ から 点 $(-1,3)$ へ直線的に移動．
    (3)   $${I=\int_{C}x^2y\,dx+e^{x^2}\,dy}$$,     $C:$ 曲線 $y=x^2$ 上で点 $(-1,1)$ から $(3,9)$ へ移動．
    (4)   $${I=\int_{C}(x+y)\,dx+(x+y)\,dy}$$,     $C:$ 曲線 $y=x^2$ 上で点 $(0,0)$ から $(2,4)$ へ移動．
    (5)   $${I=\int_{C}xy\,dx+x^2\,dy}$$,     $C:$ 単位円を点 $(1,0)$ から点 $(0,1)$ へ反時計回りに移動．
    (6)   $${I=\int_{C}y^2\,dx+x^2\,dy}$$,     $C:$ $x^2+y^2=1$ 上を反時計回りに一周．
    (7)   $${I=\int_{C}y\,dx+x\,dy}$$,     $C:$ $${\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}$$ 上を 反時計回りに一周．
    (8)   $${I=\int_{C}(x^2+y)\,dx+(x-y^2)\,dy}$$,     $C:$ $y=x$ と $y=x^2$ で囲まれる領域の境界を正の向きに移動．

問 3.105 (グリーンの定理)   次の線積分をグリーンの定理を用いて計算せよ．
    (1)   $${\int_{C}(e^{x^2}+y)\,dx+(y^5+x^2)\,dy}$$     $C:$ 単位円を反時計回りに一周．
    (2)   $${\int_{C}(y^2-y)\,dx+(3y^2x-x)\,dy}$$     $C:$ 単位円を反時計回りに一周．
    (3)   $${\int_{C}(xy^2+2x-y)\,dx+(x^2y-x+3y^2)\,dy}$$     $C:$ 単位円を反時計回りに一周．
    (4)   $${\int_{C}(x^2+2x^2y-y^3)\,dx+(x^3-2x^2-2xy^2)\,dy}$$     $C:$ 単位円を反時計回りに一周．
    (5)   $${\int_{C}2xy\,dx+(x+x^2)\,dy}$$     $C:$ 単位円を反時計回りに一周．
    (6)   $${\int_{C}\frac{dx}{y}+\frac{dy}{x}}$$     $C:$ $x=1$, $y=4$, $y=x^2$ で囲まれる領域の境界を正の向きに回る 曲線．

問 3.106 (線積分による面積の計算)   単一曲線内 $C$ で囲まれる領域 $D$ の面積 $S$ は

$$S= \int_{C}x dy= -\int_{C}y dx= \frac{1}{2} \int_{C}x dy-y dx$$

で与えられることを グリーンの定理を用いて示せ． ただし，$C$ は正の向きにまわる曲線とする．

問 3.107 (経路に依存しない線積分)   次の線積分 $I$ の値を求めよ．
    (1)   $${I=\int_{(0,0)}^{(1,2)}(3x^2y-y^2+2x)\,dx+(x^3-2xy+y^3)\,dy}$$
    (2)   $${I=\int_{(0,0)}^{(1,2)}(2x e^y+2y e^{2x}-x)\,dx+(x^2e^y+e^{2x}+y^2)\,dy}$$

平成20年2月2日