4.19 行列式と面積

行列式の図形上の意味を考える． まず $n=2$ のときを考える．

$$S=\pm \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}= \pm \det \bigl[\vec{a}_{1}\,\,\vec{a}_{2}\bigr]$$ (800)

は頂点が $O$, $A(\vec{a}_{1})$, $B(\vec{a}_{2})$, $C(\vec{a}_{1}+\vec{a}_{2})$ である平行四辺形の面積となる． ただし

$$\mathbb{R}^{2}\ni \vec{a}_{1}= \begin{bmatrix}a_{11} \\ a_{21} \end{bmatrix}\,,\quad \vec{a}_{2}= \begin{bmatrix}a_{12} \\ a_{22} \end{bmatrix}$$ (801)

である． 符号は $\vec{a}_{1}$ から $\vec{a}_{2}$ が反時計回りのときが正であり， 時計回りのとき負である．

$$V=\pm \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} ... ...}\,\,\vec{a}_{2}\,\,\vec{a}_{3}\bigr]= \pm[\vec{a}_{1},\vec{a}_{2},\vec{a}_{3}]$$ (802)

は頂点が $O$, $A(\vec{a}_{1})$, $B(\vec{a}_{2})$, $C(\vec{a}_{3})$, $D(\vec{a}_{1}+\vec{a}_{2})$, $E(\vec{a}_{1}+\vec{a}_{3})$, $F(\vec{a}_{2}+\vec{a}_{3})$, $G(\vec{a}_{1}+\vec{a}_{2}+\vec{a}_{3})$ である平行 6 面体の体積となる． ただし

$$\mathbb{R}^{3}\ni \vec{a}_{1}= \begin{bmatrix}a_{11} \\ a_{21} \\... ...x}\,,\quad \vec{a}_{3}= \begin{bmatrix}a_{13} \\ a_{23} \\ a_{33} \end{bmatrix}$$ (803)

である． $[\vec{a}_{1},\vec{a}_{2},\vec{a}_{3}]$ は スカラー三重積であることに注意する． 符号は $\vec{a}_{1}$, $\vec{a}_{2}$, $\vec{a}_{3}$ が 右手系のとき正であり， 左手系のとき負となる．

平成20年2月2日