1.8 $\mathbb{R}^2$ における直線の方程式

注意 1.35 ( $\mathbb{R}^{2}$ の直線の方程式)   直線 $\vec{x}=\vec{x}_0+t\vec{p}\in\mathbb{R}^2$ を考える． このとき

$$\vec{x}= \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}\,,\quad \vec{x}_0= \... ...{0} \\ y_{0} \end{bmatrix}\,,\quad \vec{p}= \begin{bmatrix}a \\ b \end{bmatrix}$$ (38)

とおく． $\mathbb{R}^2$ の直線の方程式は

$$\frac{x-x_{0}}{a}=\frac{y-y_0}{b}=t$$ (39)

と表される． この式は 点 $Q(x_{0},y_{0})$ を通り 方向ベクトルが $\vec{p}=\begin{bmatrix}a \\ b \end{bmatrix}$ であることが 分かり易い形である．

式変形をする． $a'=b$, $b'=-a$, $c'=-a'x_{0}-b'y_{0}$ とおく． すると

$$a'(x-x_{0})+b'(y-y_0)=0$$ (40)

であり，または

$$a'x+b'y+c'=0$$ (41)

となる． この式は $\vec{n}= \begin{bmatrix}a' \\ b' \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}b \\ -a \end{bmatrix}$ を用いると

$$\vec{n}\cdot(\vec{x}-\vec{x}_0)=0$$ (42)

とも表される． $\vec{x}-\vec{x}_0=t\vec{p}$ であるから， ベクトル $\vec{n}$ は $\vec{n}\cdot\vec{p}=0$ を満たす． すなわち $\vec{n}$ は方向ベクトル $\vec{p}$ と直交する． 方向ベクトルと直交するベクトルを 法線ベクトル（normal vector）という．

さらに式変形する． $\tilde{a}=-a'/b'=b/a$ とおく． すると

$$y=\tilde{a}(x-x_{0})+y_{0}$$ (43)

と表される． この式は $y$ は $x$ についての $1$ 次関数であることと， 直線は点 $Q(x_{0},y_{0})$ を通り 傾きが $\tilde{a}$ であることが分かり易い形である．

注意 1.36 ( $\mathbb{R}^2$ の直線の方程式)   $\mathbb{R}^2$ の直線の方程式はいくつかの書き方がある． まず，

$$\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}$$ (44)

と書くとき， $\begin{bmatrix}{a}\\ [-.5ex]{b}\end{bmatrix}$ は 方向ベクトルを表す．

$$y=ax+b$$ (45)

と書くときでは， $a$ は傾きを $b$ は$y$ 切片をそれぞれ表す．

$$ax+by+c=0$$ (46)

と書くときは， $\begin{bmatrix}{a}\\ [-.5ex]{b}\end{bmatrix}$ は 法線ベクトルを表す．

$$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$$ (47)

と書けば， $a$ は$x$ 切片を $b$ は$y$ 切片をそれぞれ表す．

例 1.37 ( $\mathbb{R}^2$ の直線の方程式の具体例)   点 $A(1,2)$, $B(3,-2)$ を通る直線の方程式を考える． まず

$$\vec{x}_0=\overrightarrow{OA}= \begin{bmatrix}1 \\ 2 \end{bmatrix... ...rix}- \begin{bmatrix}1 \\ 2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}2 \\ -4 \end{bmatrix}$$ (48)

とおく．$\vec{p}$ は方向ベクトルである． 直線の方程式のパラメータ表示は

$$\vec{x}=\vec{x}(t)= \vec{x}_0+t\vec{p}= \begin{bmatrix}1 \\ 2 \en... ...begin{bmatrix}2 \\ -4 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}2t+1 \\ -4t+2 \end{bmatrix}$$ (49)

である． $\vec{x}=\begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}$ とおき $t$ を消去すると， 直線の方程式の成分表示は

$$\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-4}$$ (50)

であり，変形して

$$2x+y-4=0$$ (51)

である．法線ベクトルは $\vec{n}=\begin{bmatrix}2\\ 1\end{bmatrix}$ である． さらに変形して

$$y=-2x+4$$ (52)

となる．傾きは $-2$ であり，$y$ 切片は $4$ である． さらに変形して

$$\frac{x}{2}+\frac{y}{4}=1$$ (53)

となる．$x$切片は $2$ であり，$y$ 切片は $4$ である．

例 1.38 ( $\mathbb{R}^2$ の直線の方程式の具体例)   点 $A(1,2)$, $B(3,-2)$ を通る直線の方程式を考える． 直線の方程式を

$$ax+by=1$$ (54)

と仮定する． 点 $A$, $B$ は直線上にあるので

$$a+2b=1,\qquad 3a-2b=1$$ (55)

が成り立つ． この連立方程式を解くと

$$a=\frac{1}{2},\qquad b=\frac{1}{4}$$ (56)

となる．直線の方程式を

$$\frac{x}{2}+\frac{y}{4}=1$$ (57)

と得る．

注意 1.39 ( $\mathbb{R}^2$ の直線の方程式)   直線は $2$ 点より定まることと 連立方程式の解が一意に定まることとは等価である．

例 1.40 (直線)   2 点 $A(2,-3)$, $B(-1,1)$ を通る直線を考える． この直線の方向ベクトルは

$$\vec{p}=\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{... ...x}- \begin{bmatrix}2 \\ -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-3 \\ 4 \end{bmatrix}$$

である．直線の方程式のパラメータ表示は

$$\vec{x}(t)= \begin{bmatrix}x(t) \\ y(t) \end{bmatrix}= \vec{x}_0+... ...egin{bmatrix}-3 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2-3t \\ -3+4t \end{bmatrix}$$

である．$x=2-3t$, $y=-3+4t$ で $t$ を消去すると

$$\frac{x-2}{-3}=\frac{y+3}{4}$$

となる．式変形して

$$4(x-2)+3(y+3)=0$$

とする． この式より，この直線は法線ベクトルが

$$\vec{n}= \begin{bmatrix}4 \\ 3\end{bmatrix}$$

で点 $(2,-3)$ を通る直線である． さらに式変形して一般形で表すと

$$4x+3y+1=0$$

である． また，式変形して

$$y=-\frac{4}{3}x-\frac{1}{3}, \qquad \frac{x}{-\frac{1}{4}}+\frac{y}{-\frac{1}{3}}=1$$

とする． 直線の傾きは $-\frac{4}{3}$ であり， $x$ 切片は $-\frac{1}{4}$ で $y$ 切片は $-\frac{1}{3}$ である．

次にこの直線と直交し点 $A(2,-3)$ を通る直線を考える． 法線ベクトル $\vec{n}$ が方向ベクトルとるので， 法線の方程式は

$$\frac{x-2}{4}=\frac{y+3}{3}$$

である．式変形すれば

$$3(x-2)-4(y+3)=0, \quad 3x-4y-18=0, \quad y=\frac{3}{4}x+\frac{9}{2}, \quad \frac{x}{6}+\frac{y}{-\frac{9}{2}}=1$$

と書ける． 法線は傾きが $\frac{3}{4}$ で， $x$ 切片が $6$ で， $y$ 切片が $-\frac{9}{2}$ で， 法線ベクトルが $${\begin{bmatrix}3 \\ -4 \end{bmatrix}}$$ である．

平成20年2月2日