1.10 演習問題 〜 直線

1.46 (内分点)   次の内分点,外分点を求めよ.
    (1)   $ \mathbb{R}^2$ の 2 点 $ (1,1)$, $ (2,3)$$ 1:2$ に内分する点.
    (2)   $ \mathbb{R}^3$ の 2 点 $ (1,1,-1)$, $ (1,-3,2)$$ 3:2$ に内分する点.
    (3)   $ \mathbb{R}^3$ の 2 点 $ (1,4,8)$, $ (4,-2,2)$$ 2:3$ に内分する点.
    (4)   $ \mathbb{R}^3$ の 2 点 $ (1,4,8)$, $ (4,-2,2)$$ 2:1$ に内分する点.
    (5)   $ \mathbb{R}^4$ の 2 点 $ (1,1,-1,2)$, $ (0,1,-2,5)$$ 2:7$ に内分する点.
    (6)   $ \mathbb{R}^2$ の 2 点 $ (1,1)$, $ (2,3)$$ -1:5$ に外分する点.
    (7)   $ \mathbb{R}^3$ の 2 点 $ (1,1,-1)$, $ (1,-3,2)$$ 3:-2$ に外分する点.
    (8)   $ \mathbb{R}^4$ の 2 点 $ (1,1,-1,2)$, $ (0,1,-2,5)$$ -3:4$ に外分する点.

1.47 ( $ \mathbb{R}^2$ の直線)   点 $ (3,5)$, $ (2,-1)$ を通る直線の方程式を求めよ.

1.48 ( $ \mathbb{R}^2$ の直線)   点 $ (3,5)$ を通り方向ベクトルが $ \displaystyle{\begin{bmatrix}2 \\ -1\end{bmatrix}}$ の直線の方程式を求めよ.

1.49 ( $ \mathbb{R}^2$ の直線)   点 $ (3,5)$ を通り法線ベクトルが $ \displaystyle{\begin{bmatrix}2 \\ -1\end{bmatrix}}$ の直線の方程式を求めよ.

1.50 ( $ \mathbb{R}^2$ の直線)   傾きが $ 2$$ y$ 切片が $ -1$ の直線の方程式を求めよ.

1.51 ( $ \mathbb{R}^2$ の直線)   $ x$ 切片が $ 2$$ y$ 切片が $ -1$ の直線の方程式を求めよ.

1.52 ( $ \mathbb{R}^2$ の直線)   次の $ \mathbb{R}^2$ の直線に関して, 傾き,$ y$ 切片,$ x$ 切片, 方向ベクトル,法線ベクトルを求めよ. また,この直線に直交し原点を通る法線を求めよ.
    (1)  $ y=3x-2$     (2)  $ 3x-2y+5=0$     (3)  2 点 $ (3,2)$, $ (1,-2)$ を通る直線
    (4)   $ \displaystyle{\frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{2}}$     (5)   $ \displaystyle{\frac{x}{3}-\frac{y}{2}=1}$

1.53 ( $ \mathbb{R}^2$ の直線)   次の $ \mathbb{R}^2$ の直線をパラメータ表示で表せ. また,直線の方向ベクトル,法線ベクトル, $ x$ 切片,$ y$ 切片,傾きを求めよ. さらには,この直線に直交し点 $ (1,2)$ を通る法線を求めよ.
    (1)  点 $ (1,-1)$, $ (2,3)$ を通る直線     (2)  点 $ (0,2)$, $ (1,0)$ を通る直線
    (3)  点 $ (-3,1)$, $ (4,2)$ を通る直線     (4)  点 $ (2,1)$, $ (5,-1)$ を通る直線
    (5)   $ \displaystyle{\frac{x-2}{2}=\frac{y-1}{4}}$     (6)   $ \displaystyle{\frac{x}{-1}=\frac{y+2}{-3}}$     (7)   $ \displaystyle{\frac{x-5}{-3}=\frac{y-3}{5}}$
    (8)   $ \displaystyle{\frac{x+3}{2}=\frac{y-1}{-1}}$     (9)  $ y=2x-1$     (10)  $ y=-2x+3$     (11)  $ y=4x-3$     (12)  $ y=-3x-5$
    (13)  $ 3x+2y+5=0$     (14)  $ -x+y+1=0$     (15)  $ 2x-y-2=0$     (16)  $ -x-3y+1=0$
    (17)   $ \displaystyle{\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1}$     (18)   $ \displaystyle{\frac{x}{-2}+\frac{y}{4}=1}$     (19)   $ \displaystyle{\frac{x}{-3}+\frac{y}{-5}=1}$     (20)   $ \displaystyle{\frac{x}{4}+\frac{y}{-3}=1}$

1.54 ( $ \mathbb{R}^{3}$ の直線)   点 $ (2,1,3)$ を通り 方向ベクトルが $ \displaystyle{\begin{bmatrix}-2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}}$ の 直線の方程式を求めよ.

1.55 ( $ \mathbb{R}^{3}$ の直線)   次の $ \mathbb{R}^3$ の直線の方向ベクトルと直線上の点を 1 つ答えよ.
    (1)   $ \displaystyle{\frac{x+1}{2}=\frac{y}{-2}=\frac{z+1}{3}}$     (2)   $ \displaystyle{\frac{x}{-1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-2}{-1}}$     (3)   $ \displaystyle{\frac{x}{-2}=y=-z}$
    (4)   $ \displaystyle{x=3,\frac{y-1}{2}=\frac{z+1}{-1}}$     (5)   $ \displaystyle{x=3,y+2z+1=0}$     (6)   $ \displaystyle{y=-1,\frac{x+2}{-3}=\frac{z}{2}}$
    (7)   $ \displaystyle{y=-1,2x+3z+4=0}$     (8)   $ \displaystyle{z=2,\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-3}}$     (9)   $ \displaystyle{z=2,3x+2y=1}$

1.56 ( $ \mathbb{R}^3$ の直線)   次の 2 点を通る $ \mathbb{R}^3$ の直線を パラメータ表示と成分表示で表せ.
    (1)  点 $ (1,2,-1)$, $ (0,2,1)$     (2)  点 $ (1,2,-1)$, $ (0,1,2)$     (3)  点 $ (0,1,2)$, $ (-1,2,-1)$
    (4)  点 $ (4,0,2)$, $ (2,-1,0)$     (5)  点 $ (0,1,2)$, $ (3,-1,0)$

1.57 ( $ \mathbb{R}^3$ の直線)   $ \mathbb{R}^3$ の 3 点 $ (-2,4,5)$, $ (1,p,2)$, $ (0,1,q)$ が, 1 直線にあるような $ p$, $ q$ の値を求めよ.

1.58 ( $ \mathbb{R}^3$ の直線)   次の $ \mathbb{R}^3$ の直線と直交し点 $ (1,2,3)$ を通る直線の方程式を求めよ. また,その交点を求めよ.
    (1)   $ \displaystyle{\frac{x-1}{2}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z-2}{3}}$     (2)   $ \displaystyle{\frac{x+2}{-1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{-2}}$

1.59 (線形結合)  

$\displaystyle \begin{bmatrix}1 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix}=p \begin{bmatrix}1 \\ 0 ...
...in{bmatrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}+r \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$    

をみたす $ p$, $ q$, $ r$ を求めよ.


平成20年2月2日