1.12 ノルム

定義 1.68 (ノルム)   ベクトル $\vec{a}\in\mathbb{R}^{n}$ に対して，

$$\Vert\vec{a}\Vert=\sqrt{\vec{a}\cdot\vec{a}}= \sqrt{\sum_{k=1}^{n}a_{k}^2}$$ (73)

をベクトル $\vec{a}$ のノルム（norm）または 長さ（length）という． また， ベクトル $\vec{a}\in\mathbb{C}^{n}$ に対しては

$$\Vert\vec{a}\Vert=\sqrt{\vec{a}\cdot\vec{a}}= \sqrt{\sum_{k=1}^{n}a_{k}\overline{a_k}}= \sqrt{\sum_{k=1}^{n}\vert a_{k}\vert^2}$$ (74)

と定義する．

例 1.69 (ノルムの具体例)   ベクトル

$$\vec{a}= \begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix}\,,\quad \vec{b}= \begin{bmatrix}2 \\ -1 \end{bmatrix} \in\mathbb{R}^{2}$$ (75)

のノルムはそれぞれ

$$\Vert\vec{a}\Vert = \sqrt{\vec{a}\cdot\vec{a}}= \sqrt{1\times1+1\times1}=\sqrt{2}\,,$$ (76)

$$\Vert\vec{b}\Vert = \sqrt{\vec{b}\cdot\vec{b}}= \sqrt{2\times2+(-1)\times(-1)}=\sqrt{5}$$ (77)

である．

例 1.70 (ノルムの具体例)   ベクトル

$$\vec{a}= \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\,,\quad \vec{b}= \begin{bmatrix}2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} \in\mathbb{R}^{3}$$ (78)

のノルムはそれぞれ

$$\Vert\vec{a}\Vert = \sqrt{\sum_{k=1}^{3}a_{k}^2}= \sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}\,,$$ (79)

$$\Vert\vec{b}\Vert = \sqrt{\sum_{k=1}^{3}b_{k}^2}= \sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{6}$$ (80)

である．

例 1.71 (ノルムの具体例)   ベクトル

$$\vec{a}= \begin{bmatrix}1+i \\ 1-i \\ i \end{bmatrix}\,,\quad \vec{b}= \begin{bmatrix}2-2i \\ -1 \\ -i \end{bmatrix} \in\mathbb{C}^{3}$$ (81)

のノルムはそれぞれ

$$\Vert\vec{a}\Vert = \sqrt{\sum_{k=1}^{3}\vert a_{k}\vert^2}= \sqrt{\vert 1+i\vert^2+\vert 1-i\vert^2+\vert i\vert^2}= \sqrt{(1^2+1^2)+(1^2+(-1)^2)+1}= \sqrt{5}\,,$$ (82)

$$\Vert\vec{b}\Vert = \sqrt{\sum_{k=1}^{3}\vert b_{k}\vert^2}= \sqrt{\vert 2-2i\vert^2+\vert-1\vert^2+\vert-i\vert^2}= \sqrt{(2^2+(-2)^2)+1+1}= \sqrt{10}$$ (83)

である．

定理 1.72 (ノルムの性質)   シュバルツの不等式（Schwartz' inequality）：

$$\vert\vec{a}\cdot\vec{b}\vert\leq \Vert\vec{a}\Vert\Vert\vec{b}\Vert\,,\quad \vec{a},\vec{b}\in\mathbb{R}^{n}$$ (84)

三角不等式（triangle inequality???）：

$$\Vert\vec{a}+\vec{b}\Vert\leq \Vert\vec{a}\Vert+\Vert\vec{b}\Vert\,,\quad \vec{a},\vec{b}\in\mathbb{R}^{n}$$ (85)

問 1.73 (ノルムの性質)   次の関係式を示せ．
    (1)   $\Vert\vec{a}-\vec{b}\Vert^2+\Vert\vec{a}+\vec{b}\Vert^2= 2(\Vert\vec{a}\Vert^2+\Vert\vec{b}\Vert^2)$
    (2)   $(\vec{a}-\vec{b})\cdot(\vec{a}+\vec{b})= \Vert\vec{a}\Vert^2-\Vert\vec{b}\Vert^2$
    (3)   $\Vert\vec{a}\pm\vec{b}\Vert^2= \Vert\vec{a}\Vert^2+\Vert\vec{b}\Vert^2\pm 2\vec{a}\cdot\vec{b}$
    (4)   $${\left\Vert \frac{\vec{a}}{\Vert\vec{a}\Vert^2}\pm \frac{\vec{b}}... ...= \frac{\Vert\vec{a}\pm\vec{b}\Vert^2}{\Vert\vec{a}\Vert^2\Vert\vec{b}\Vert^2}}$$

平成20年2月2日