1.18 外積の性質

定理 1.88 (外積の性質)    
(i)
$ (\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}=
\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})$ (結合則)
(ii)
$ \vec{a}\times(\vec{b}+\vec{c})=
\vec{a}\times\vec{b}+\vec{a}\times\vec{c}$,     $ (\vec{a}+\vec{b})\times\vec{c}=
\vec{a}\times\vec{c}+\vec{b}\times\vec{c}$ (分配則)
(iii)
$ (\alpha\vec{a})\times\vec{b}=\alpha(\vec{a}\times\vec{b})=
\vec{a}\times(\alpha\vec{b})$ (スカラー倍の結合則)
(iv)
$ \vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}$ (交換則)
(v)
$ \vec{a}\times\vec{a}=\vec{0}$
(vi)
$ \vec{a}\parallel\vec{b}\Leftrightarrow\vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}$

1.89 (外積の性質)   これを示せ.

(証明) (iv) 積の順を入れ換えると向きが反対向きになるため. (v) 自分自身との角度は $ \theta=0$ であるから長さは 0 となり, 外積は $ \vec{0}$ である. (vi) $ \vec{a}$$ \vec{b}$ が並行なとき $ \theta=0$ であるから長さは 0 となり, 外積は $ \vec{0}$ である.

注意 1.90 (内積の性質)   外積の性質と内積の性質の違いに注意する:
(i)
$ \vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}$.
(ii)
$ \vec{a}\cdot\vec{a}=\Vert\vec{a}\Vert^2$.
(iii)
$ \vec{a}\perp\vec{b}\Leftrightarrow\vec{a}\cdot\vec{b}=0$.

1.91 (外積の性質)   次の関係式を示せ.
    (1)   $ (\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{a}=0$     (2)   $ (\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{b}=0$     (3)   $ (\vec{a}-\vec{b})\times(\vec{a}+\vec{b})=2(\vec{a}\times\vec{b})$
    (4)   $ (\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}=
(\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b}-(\vec{b}\cdot\vec{c})\vec{a}$,     $ \vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})=
(\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{c}$. これをベクトル $ 3$ 重積 (vector triple product)または ラグランジュの公式 (Lagrange's formula)という.
    (5)   $ (\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}+
(\vec{b}\times\vec{c})\times\vec{a}+
(\vec{c}\times\vec{a})\times\vec{b}=\vec{0}$. これをヤコビの公式 (Jacobi's formula)という.
    (6)   $ (\vec{a}\times\vec{b})\cdot(\vec{c}\times\vec{d})=
(\vec{a}\cdot\vec{c})(\vec{b}\cdot\vec{d})-
(\vec{a}\cdot\vec{d})(\vec{b}\cdot\vec{c})$
    (7)   $ \displaystyle{
\vec{a}\cdot(\vec{b}\times(\vec{c}\times\vec{d}))=
(\vec{a}\tim...
...cdot\vec{c} \\ [-.3ex]
\vec{a}\cdot\vec{d} &
\vec{b}\cdot\vec{d}
\end{vmatrix}}$




平成20年2月2日