1.19 外積を成分で計算

注意 1.92 (外積の成分表示)   $\mathbb{R}^3$ のベクトル $\vec{a}$, $\vec{b}$ を $xy$ 平面上とする． すなわち， $\vec{a}=\begin{bmatrix}{a_1}\\ [-.5ex]{a_2}\\ [-.5ex]{0}\end{bmatrix}$, $\vec{b}=\begin{bmatrix}{b_1}\\ [-.5ex]{b_2}\\ [-.5ex]{0}\end{bmatrix}$ とおく． このとき，4 点 $O$, $A(\vec{a})$, $C(\vec{a}+\vec{b})$, $B(\vec{b})$ からなる平行四辺形の面積は $${S= \begin{vmatrix} a_{1} & b_{1}\\ a_{2} & b_{2} \end{vmatrix}}$$ である．ここで符合は $\vec{a}$, $\vec{b}$ の向きに正とする． 外積 $\vec{c}=\vec{a}\times\vec{b}$ は $z$ 軸と同じ向きで 大きさは $S$ となるで，

$$\vec{c}= \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ S \end{bmatrix} = \begin{bmatri... ...\ 0 \\ \begin{vmatrix}a_{1} & b_{1}\\ a_{2} & b_{2} \end{vmatrix} \end{bmatrix}$$

と得られる．

定理 1.93 (外積の成分表示)   $\mathbb{R}^3$ のベクトル $\vec{a}=\begin{bmatrix}{a_{1}}\\ [-.5ex]{a_{2}}\\ [-.5ex]{a_{3}}\end{bmatrix}$, $\vec{b}=\begin{bmatrix}{b_{1}}\\ [-.5ex]{b_{2}}\\ [-.5ex]{b_{3}}\end{bmatrix}$ に対して，

$$\vec{a}\times\vec{b}= \begin{bmatrix}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2} \\ a_{... ...{1} \\ \vec{e}_{2} & a_{2} & b_{2} \\ \vec{e}_{3} & a_{3} & b_{3} \end{vmatrix}$$ (108)

が成り立つ．

問 1.94 (外積の成分表示)   これを示せ．

例 1.95 (外積の計算例)   $\vec{a}=\begin{bmatrix}{1}\\ [-.5ex]{2}\\ [-.5ex]{3}\end{bmatrix}$, $\vec{b}=\begin{bmatrix}{4}\\ [-.5ex]{5}\\ [-.5ex]{6}\end{bmatrix}$ の外積は

$$\vec{a}\times\vec{b} = \begin{vmatrix}2 & 5 \\ 3 & 6 \end{vmatrix}\vec{e}_{1}+ \begin{... ...ec{e}_{1}+6\vec{e}_{2}-3\vec{e}_{3}= \begin{bmatrix}-3 \\ 6 \\ -3 \end{bmatrix}$$ (109)

である．

平成20年2月2日