1.21 スカラー三重積と平行六面体の体積

問 1.98 (スカラー三重積)   すべての $\mathbb{R}^3$ のベクトル $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ に対して

$$(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}= \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})= (\vec{c}\times\vec{a})\cdot\vec{b}$$ (124)

が成り立つことを示せ．

定義 1.99 (スカラー三重積)   スカラー三重積（scalar triple vector）を

$$[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]= (\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}= \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})= (\vec{c}\times\vec{a})\cdot\vec{b}$$ (125)

と定義する．

定理 1.100 (スカラー三重積の値)  

$$[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]= \begin{vmatrix}a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{vmatrix}$$ (126)

問 1.101 (スカラー三重積の値)   これを示せ．

（証明）

$$(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}= \begin{vmatrix}a_{2} & a_{3} ... ..._{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{vmatrix}\,.$$ (127)

問 1.102 (外積の性質)   次の関係式を示せ．
    (1)   $(\vec{a}\times\vec{b})\times(\vec{c}\times\vec{d})= [\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}- [\vec{a},\vec{b},\vec{c}]\vec{d}$
    (2)   $[\vec{a}\times\vec{b},\vec{b}\times\vec{c},\vec{c}\times\vec{a}]= [\vec{a},\vec{b},\vec{c}]^2$
    (3)   $[\vec{a}\times\vec{b},\vec{c}\times\vec{d},\vec{e}\times\vec{f}]= [\vec{a},\ve... ...}][\vec{c},\vec{e},\vec{f}]- [\vec{a},\vec{b},\vec{c}][\vec{d},\vec{e},\vec{f}]$
    (4)   $${ [\vec{a},\vec{b},\vec{c}][\vec{l},\vec{m},\vec{n}]= \begin{vmat... ... \vec{c}\cdot\vec{l} & \vec{c}\cdot\vec{m} & \vec{c}\cdot\vec{n} \end{vmatrix}}$$

問 1.103 (スカラー三重積と体積)   頂点が $O$, $A(\vec{a})$, $B(\vec{b})$, $C(\vec{c})$, $D(\vec{a}+\vec{b})$, $E(\vec{a}+\vec{c})$, $F(\vec{b}+\vec{c})$, $G(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$ である並行 6 面体の体積は $V=\left\vert[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]\right\vert$ である． これを示せ．

（答え）     平行 6 面体の体積は， 底面積を $S$ とし， 高さを $h$ とすると， $V=Sh$ で与えれる． 底面の平行四辺形 $OABD$ の面積は， $S=\Vert\vec{a}\times\vec{b}\Vert$ である． また，底面に対する単位法線ベクトルは $\vec{n}=(\vec{a}\times\vec{b})/\Vert\vec{a}\times\vec{b}\Vert$ である． ベクトル $\vec{c}$ を垂線に正射影してできるベクトルの長さが 高さ $h$ であるから， $h=\vert\vec{n}\cdot\vec{c}\vert= \vert(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}\vert/\Vert\vec{a}\times\vec{b}\Vert$ となる． よって体積は $V=\vert(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}\vert$ と求まる．

平成20年2月2日