1.22 演習問題～内積，ノルム，外積

問 1.104 (内積，ノルム，外積) $\mathbb{R}^3$ のベクトルに対して，次の関係式が成り立つこと証明せよ．
    (1)   $(\vec{a}\cdot\vec{b})\cdot\vec{c}= \vec{a}\cdot(\vec{b}\cdot\vec{c})$     (2)   $(\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c}= \vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{c}$     (3)   $(\alpha\vec{a})\cdot\vec{b}=\alpha(\vec{a}\cdot\vec{b})$     (4)   $\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}$
    (5)   $\vec{a}\neq\vec{0}$ のとき $\vec{a}\cdot\vec{a}>0$     (6)   $\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}$     (7)   $\vec{a}\cdot\vec{a}=\Vert\vec{a}\Vert^2$     (8)   $\vec{a}\perp\vec{b}\Leftrightarrow\vec{a}\cdot\vec{b}=0$
    (9)   $\vert\vec{a}\cdot\vec{b}\vert\leq\Vert\vec{a}\Vert\,\Vert\vec{b}\Vert$     (10)   $\Vert\vec{a}+\vec{b}\Vert\leq\Vert\vec{a}\Vert+\Vert\vec{b}\Vert$     (11)   $\displaystyle{-1\leq\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\Vert\vec{a}\Vert\Vert\vec{b}\Vert}\leq1}$
    (12)   $\Vert\vec{a}-\vec{b}\Vert^2+\Vert\vec{a}+\vec{b}\Vert^2= 2(\Vert\vec{a}\Vert^2+\Vert\vec{b}\Vert^2)$     (13)   $(\vec{a}-\vec{b})\cdot(\vec{a}+\vec{b})= \Vert\vec{a}\Vert^2-\Vert\vec{b}\Vert^2$
    (14)   $\Vert\vec{a}\pm\vec{b}\Vert^2= \Vert\vec{a}\Vert^2+\Vert\vec{b}\Vert^2\pm 2\vec{a}\cdot\vec{b}$     (15)   $\displaystyle{\left\Vert \frac{\vec{a}}{\Vert\vec{a}\Vert^2}\pm \frac{\vec{b}}... ...= \frac{\Vert\vec{a}\pm\vec{b}\Vert^2}{\Vert\vec{a}\Vert^2\Vert\vec{b}\Vert^2}}$
    (16)   $\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}$     (17)   $\vec{a}\times\vec{a}=\vec{0}$     (18)   $\vec{a}\parallel\vec{b}\Leftrightarrow\vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}$     (19)   $(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}= \vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})$
    (20)   $\vec{a}\times(\vec{b}+\vec{c})= \vec{a}\times\vec{b}+\vec{a}\times\vec{c}$     (21)   $(\vec{a}+\vec{b})\times\vec{c}= \vec{a}\times\vec{c}+\vec{b}\times\vec{c}$
    (22)   $(\alpha\vec{a})\times\vec{b}=\alpha(\vec{a}\times\vec{b})= \vec{a}\times(\alpha\vec{b})$     (23)   $(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{a}=0$     (24)   $(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{b}=0$
    (25)   $(\vec{a}-\vec{b})\times(\vec{a}+\vec{b})=2(\vec{a}\times\vec{b})$     (26)   $(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}= (\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b}-(\vec{b}\cdot\vec{c})\vec{a}$
    (27)   $\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})= (\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{c}$     (28)   $(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}+(\vec{b}\times\vec{c})\times\vec{a}+(\vec{c}\times\vec{a})\times\vec{b}=0$
    (29)   $(\vec{a}\times\vec{b})\cdot(\vec{c}\times\vec{d})= (\vec{a}\cdot\vec{c})(\vec{b}\cdot\vec{d})- (\vec{a}\cdot\vec{d})(\vec{b}\cdot\vec{c})$     (30)   $(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})=(\vec{c}\times\vec{a})\cdot\vec{b}$
    (31)   $\displaystyle{ \vec{a}\cdot(\vec{b}\times(\vec{c}\times\vec{d}))= (\vec{a}\tim... ...cdot\vec{c} \\ [-.3ex] \vec{a}\cdot\vec{d} & \vec{b}\cdot\vec{d} \end{vmatrix}}$
    (32)   $(\vec{a}\times\vec{b})\times(\vec{c}\times\vec{d})= [\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}- [\vec{a},\vec{b},\vec{c}]\vec{d}$     (33)   $[\vec{a}\times\vec{b},\vec{b}\times\vec{c},\vec{c}\times\vec{a}]= [\vec{a},\vec{b},\vec{c}]^2$
    (34)   $[\vec{a}\times\vec{b},\vec{c}\times\vec{d},\vec{e}\times\vec{f}]= [\vec{a},\ve... ...}][\vec{c},\vec{e},\vec{f}]- [\vec{a},\vec{b},\vec{c}][\vec{d},\vec{e},\vec{f}]$
    (35)   $\displaystyle{ [\vec{a},\vec{b},\vec{c}][\vec{l},\vec{m},\vec{n}]= \begin{vmat... ... \vec{c}\cdot\vec{l} & \vec{c}\cdot\vec{m} & \vec{c}\cdot\vec{n} \end{vmatrix}}$

問 1.105 (内積) 次の 2 つのベクトルのノルムをそれぞれ求めよ．またこれらの内積，方向余弦，成す角を求めよ．
(1) $\begin{bmatrix}{-\sqrt{3}}\\ [-.5ex]{1}\end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix}{3}\\ [-.5ex]{\sqrt{3}}\end{bmatrix}$ (2) $\begin{bmatrix}{1}\\ [-.5ex]{2}\end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix}{-2}\\ [-.5ex]{3}\end{bmatrix}$ (3) $\begin{bmatrix}{1}\\ [-.5ex]{2}\\ [-.5ex]{1}\end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix}{-2}\\ [-.5ex]{-1}\\ [-.5ex]{1}\end{bmatrix}$ (4) $\begin{bmatrix}{0}\\ [-.5ex]{1}\\ [-.5ex]{-1}\end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix}{1}\\ [-.5ex]{0}\\ [-.5ex]{-2}\end{bmatrix}$
(5) $\begin{bmatrix}{1}\\ [-.5ex]{-1}\\ [-.5ex]{0}\\ [-.5ex]{2}\end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix}{2}\\ [-.5ex]{1}\\ [-.5ex]{3}\\ [-.5ex]{0}\end{bmatrix}$ (6) $\begin{bmatrix}{-1}\\ [-.5ex]{2}\\ [-.5ex]{3}\\ [-.5ex]{0}\\ [-.5ex]{1}\end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix}{1}\\ [-.5ex]{-1}\\ [-.5ex]{2}\\ [-.5ex]{1}\\ [-.5ex]{-1}\end{bmatrix}$

問 1.106 (内積) $\mathbb{R}^n$ のベクトル $\vec{a}$ , $\vec{b}$ が $\Vert\vec{a}\Vert=1$ , $\Vert\vec{b}\Vert=3$ , $\Vert\vec{a}+\vec{b}\Vert=2$ をみたすとき， $\vec{a}\cdot\vec{b}$ と $\Vert\vec{a}-\vec{b}\Vert$ の値を求めよ．

問 1.107 (内積) $\mathbb{R}^2$ のベクトル $\vec{a}=\begin{bmatrix}{1}\\ [-.5ex]{2}\end{bmatrix}$ , $\vec{b}=\begin{bmatrix}{3}\\ [-.5ex]{8}\end{bmatrix}$ , $\vec{c}=\begin{bmatrix}{1}\\ [-.5ex]{-1}\end{bmatrix}$ が $(s\vec{a}+t\vec{b})\cdot \vec{c}=0$ をみたすような実数

を求めよ．ただし

とする．このとき $\Vert s\vec{a}+t\vec{b}\Vert$ の値を求めよ．

問 1.108 (方向余弦) $\mathbb{R}^3$ の

点

に対して，方向余弦 $\cos\angle AOB$ を求めよ．また， $\triangle OAB$ の面積を求めよ．

問 1.109 (直交) 次のベクトルに直交するベクトルを

つ求めよ．
(1) $\begin{bmatrix}{2}\\ [-.5ex]{-1}\end{bmatrix}$ (2) $\begin{bmatrix}{1}\\ [-.5ex]{1}\\ [-.5ex]{0}\end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix}{0}\\ [-.5ex]{1}\\ [-.5ex]{1}\end{bmatrix}$ (3) $\begin{bmatrix}{1}\\ [-.5ex]{-2}\\ [-.5ex]{3}\end{bmatrix}$ (4) $\begin{bmatrix}{-1}\\ [-.5ex]{2}\\ [-.5ex]{1}\\ [-.5ex]{-1}\end{bmatrix}$ (5) $\begin{bmatrix}{2}\\ [-.5ex]{0}\\ [-.5ex]{-1}\\ [-.5ex]{1}\\ [-.5ex]{3}\end{bmatrix}$

問 1.110 (外積) 次のベクトルの外積を求めよ．
(1) $\begin{bmatrix}{2}\\ [-.5ex]{-1}\\ [-.5ex]{1}\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}{1}\\ [-.5ex]{0}\\ [-.5ex]{1}\end{bmatrix}$ (2) $\begin{bmatrix}{1}\\ [-.5ex]{2}\\ [-.5ex]{-1}\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}{3}\\ [-.5ex]{2}\\ [-.5ex]{-1}\end{bmatrix}$ (3) $\begin{bmatrix}{0}\\ [-.5ex]{1}\\ [-.5ex]{2}\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}{-1}\\ [-.5ex]{-1}\\ [-.5ex]{2}\end{bmatrix}$

問 1.111 (外積) 次の外積を計算せよ．
(1) $(2\vec{e}_1-2\vec{e}_2+\vec{e}_3)\times (12\vec{e}_1-4\vec{e}_2-3\vec{e}_3)$ (2) $(-2\vec{e}_1+3\vec{e}_3)\times (-\vec{e}_1+2\vec{e}_2-\vec{e}_3)$
(3) $(2\vec{e}_1-3\vec{e}_2+\vec{e}_3)\times (\vec{e}_1+\vec{e}_2+4\vec{e}_3)$
ただし， $\mathbb{R}^3$ の基本ベクトルを $\vec{e}_1=\begin{bmatrix}{1}\\ [-.5ex]{0}\\ [-.5ex]{0}\end{bmatrix}$ , $\vec{e}_2=\begin{bmatrix}{0}\\ [-.5ex]{1}\\ [-.5ex]{0}\end{bmatrix}$ , $\vec{e}_3=\begin{bmatrix}{0}\\ [-.5ex]{0}\\ [-.5ex]{1}\end{bmatrix}$ とする．

問 1.112 (外積) ベクトル $\vec{a}=3\vec{e}_1-\vec{e}_2+2\vec{e}_3$ , $\vec{b}=2\vec{e}_1-\vec{e}_3$ , $\vec{c}=-2\vec{e}_1+\vec{e}_2-\vec{e}_3$ に対して次を求めよ．
(1) $\vec{a}\times\vec{a}$ (2) $\vec{a}\times\vec{b}$ (3) $\vec{b}\times\vec{a}$ (4) $\vec{a}\times\vec{c}$ (5) $\vec{b}\times\vec{c}$ (6) $\vec{a}\times(\vec{b}+\vec{c})$ (7) $(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}$
(8) $(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{a}$ (9) $\vec{a}\times\vec{b}\times\vec{c}$ (10) $\vec{b}\times\vec{c}\times\vec{a}$ (11) $\vec{a}\times\vec{c}\times\vec{a}$

問 1.113 (右手系) ベクトル $\vec{c}$ はベクトル $\vec{a}$ , $\vec{b}$ に垂直なベクトルであり，かつ $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ はこの順序で右手系をなすとする． $\vec{c}$ を求めよ．
(1) $\vec{a}=4\vec{e}_1+3\vec{e}_2-\vec{e}_3$ , $\vec{b}=2\vec{e}_1-6\vec{e}_2-3\vec{e}_3$ (2) $\vec{a}=\vec{e}_1+2\vec{e}_2-3\vec{e}_3$ , $\vec{b}=-3\vec{e}_1+\vec{e}_2+2\vec{e}_3$
(3) $\vec{a}=\vec{e}_1-2\vec{e}_2+\vec{e}_3$ , $\vec{b}=3\vec{e}_1+\vec{e}_2-2\vec{e}_3$

問 1.114 (右手系) ベクトル $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ はこの順で右手系であり，お互いに直交するとする． $\vec{c}$ を求めよ．
(1) $\vec{a}=\begin{bmatrix}{-1}\\ [-.5ex]{-1}\\ [-.5ex]{2}\end{bmatrix}$ , $\vec{b}=\begin{bmatrix}{3}\\ [-.5ex]{1}\\ [-.5ex]{2}\end{bmatrix}$ (2) $\vec{a}=\begin{bmatrix}{-1}\\ [-.5ex]{2}\\ [-.5ex]{-1}\end{bmatrix}$ , $\vec{b}=\begin{bmatrix}{1}\\ [-.5ex]{0}\\ [-.5ex]{-1}\end{bmatrix}$ (3) $\vec{a}=\begin{bmatrix}{2}\\ [-.5ex]{3}\\ [-.5ex]{-1}\end{bmatrix}$ , $\vec{b}=\begin{bmatrix}{-1}\\ [-.5ex]{1}\\ [-.5ex]{1}\end{bmatrix}$