1.31 外積を用いて平面の法線ベクトルを導出

注意 1.156 ( $\mathbb{R}^3$ の平面の方程式) $\mathbb{R}^3$ 空間内の平面の方程式を考える．まず，

$\displaystyle \vec{x}= \begin{bmatrix}x \\ y \\ z \end{bmatrix}\,,\quad \vec{q}... ...{bmatrix}\,,\quad \vec{v}= \begin{bmatrix}v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{bmatrix}$

(196)

とおく．すると方程式

$\displaystyle x$

$\displaystyle = x_{0} + t\,u_{1}+ s\,v_{1}\,,$

$\displaystyle y$

$\displaystyle = y_{0} + t\,u_{2}+ s\,v_{2}\,,$

$\displaystyle z$

$\displaystyle = z_{0} + t\,u_{3}+ s\,v_{3}$

(197)

が成り立つ．

は任意のパラメータであるから消去して方程式とする．第一式と第二式の

を消去し

についてまとめると

$\displaystyle \begin{vmatrix}u_{2} & v_{2} \\ u_{3} & v_{3} \end{vmatrix} (x-x_... ... (y-y_0)+ \begin{vmatrix}u_{1} & v_{1} \\ u_{2} & v_{2} \end{vmatrix} (z-z_0)=0$

(198)

が得られる．他の組合せでも同じ方程式を得る．この方程式は

$\displaystyle \vec{n}= { \begin{bmatrix}a & b & c \end{bmatrix}}^{T}= { \begin{... ...n{vmatrix}u_{1} & v_{1} \\ u_{2} & v_{2} \end{vmatrix} \quad \end{bmatrix}}^{T}$

(199)

とおくと $\vec{n}\cdot(\vec{x}-\vec{q})=0$ が成り立つ．また，

$\displaystyle a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0$

(200)

と表される．さらには $d=-ax_{0}-by_{0}-cz_{0}$ とおいて変形すれば

$\displaystyle ax+by+cz+d=0$

(201)

である．これらは $\mathbb{R}^3$ の平面の方程式の成分表示である．ベクトル $\vec{n}$ は

$\displaystyle \vec{u}\cdot\vec{n}$	$\displaystyle = u_{1} \begin{vmatrix}u_{2} & v_{2} \\ u_{3} & v_{3} \end{vmatri... ...} & v_{1} \\ u_{2} & u_{2} & v_{2} \\ u_{3} & u_{3} & v_{3} \end{vmatrix}= 0\,,$	(202)
$\displaystyle \vec{v}\cdot\vec{n}$	$\displaystyle = v_{1} \begin{vmatrix}u_{2} & v_{2} \\ u_{3} & v_{3} \end{vmatri... ..._{1} & v_{1} \\ v_{2} & u_{2} & v_{2} \\ v_{3} & u_{3} & v_{3} \end{vmatrix}= 0$	(203)

より，方向ベクトル $\vec{u}$ , $\vec{v}$ とそれぞれ直交する． $\vec{n}$ は法線ベクトルである．また，ベクトル $\vec{n}$ は $\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}$ により与えられることに注意する．

例 1.157 ( $\mathbb{R}^3$ の平面の方程式の具体例) 点

, $C(-1,1,2)\in\mathbb{R}^3$ を通る平面を考える．点 $\vec{q}=\overrightarrow{OA}$ を通り方向ベクトルが $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ , $\vec{v}=\overrightarrow{AC}$ の平面と考える．

$\displaystyle \vec{q}=\overrightarrow{OA}= \begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{bmat... ...,\quad \vec{v}=\overrightarrow{AC}= \begin{bmatrix}-2 \\ -1 \\ -1 \end{bmatrix}$

(204)

とする．このとき法線ベクトルは

$\displaystyle \vec{n}$	$\displaystyle = \begin{bmatrix}a \\ b \\ c \end{bmatrix}= \vec{u}\times\vec{v}=... ...e}_{1} & \vec{e}_{2} & \vec{e}_{3} \\ 1 & -2 & -4 \\ -2 & -1 & -1 \end{vmatrix}$	(205)
	$\displaystyle = \begin{vmatrix}-2 & -4 \\ -1 & -1 \end{vmatrix}\vec{e}_{1}- \be... ...ec{e}_{1}+9\vec{e}_{2}-5\vec{e}_{3}= \begin{bmatrix}-2 \\ 9 \\ -5 \end{bmatrix}$	(206)

である． 平面の方程式の成分表示は

$\displaystyle \vec{n}\cdot(\vec{x}-\vec{q})=0$

(207)

より

$\displaystyle a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0$

(208)

であるから

$\displaystyle -2(x-1)+9(y-2)-5(z-3)=0$

(209)

を得る．また変形して

$\displaystyle 2x-9y+5z+1=0$

(210)

を得る．

例 1.158 ( $\mathbb{R}^3$ の平面の方程式の具体例) 3 点

を通る

空間内の平面を考える．法線ベクトルは

$\displaystyle \vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}= \begin{bma... ...1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} \vec{e}_3 = \begin{bmatrix}-1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$