1.31 外積を用いて平面の法線ベクトルを導出
注意 1.156 (の平面の方程式)
空間内の平面の方程式を考える. まず,
(196)
とおく.すると方程式
(197)
が成り立つ.,
は任意のパラメータであるから消去して方程式とする. 第一式と第二式の
を消去し
についてまとめると
(198)
が得られる. 他の組合せでも同じ方程式を得る. この方程式は
(199)
とおくとが成り立つ. また,
(200)
と表される. さらにはとおいて変形すれば
(201)
である. これらはの平面の方程式の成分表示である. ベクトル
は
(202) (203)
より,方向ベクトル,
とそれぞれ直交する.
は法線ベクトルである. また, ベクトル
は
により与えられることに注意する.
例 1.157 (の平面の方程式の具体例) 点
,
,
を 通る平面を考える. 点
を通り 方向ベクトルが
,
の平面と考える.
(204)
とする. このとき法線ベクトルは
(205) (206)
である. 平面の方程式の成分表示は
(207)
より
(208)
であるから
(209)
を得る.また変形して
(210)
を得る.
例 1.158 (の平面の方程式の具体例) 3 点
,
,
を通る
空間内の平面を考える. 法線ベクトルは
であり,点を通るので,
より 平面の方程式
を得る.一般形で書けば
となる.さらに変形して
とする. 平面と軸,
軸,
軸の交点はそれぞれ
,
,
である.
平成20年2月2日