1.30 平面の方程式と法線ベクトル

定理 1.153 (平面の方程式)   $\mathbb{R}^n$ 空間内の超平面上の点 $X$ の位置ベクトルは

$$\vec{n}\cdot(\vec{x}-\vec{x}_0)=0\,,\qquad \vec{x},\vec{x}_0,\vec{n}\in\mathbb{R}^{n}$$ (190)

と表される． ただし，$\vec{n}$ は方向ベクトル $\vec{u}_1$, $\cdots$, $\vec{u}_n$ と 直交するベクトルである． $\vec{n}$ を法線ベクトル（normal vector）という．

（証明）任意の実数 $t_1$, $\cdots$, $t_n$ に対して

$$\vec{n}\cdot(\vec{x}-\vec{x_0})=0$$

$$\quad\Leftrightarrow\quad \vec{n}\cdot(\vec{x}-\vec{x}_0)= \vec{n... ...s+t_n\vec{u}_n)= t_1\,\vec{n}\cdot\vec{u}_1+\cdots+t_n\,\vec{n}\cdot\vec{u}_n=0$$

$$\quad\Leftrightarrow\quad \vec{n}\cdot\vec{u}_1=0,\quad\cdots,\quad\vec{n}\cdot\vec{u}_n=0$$

$$\quad\Leftrightarrow\quad \vec{n}\perp\vec{u}_1,\quad\cdots,\quad\vec{n}\perp\vec{u}_n$$

が成り立つ．

注意 1.154 ( $\mathbb{R}^3$ の平面の方程式)   $\mathbb{R}^3$ 内の平面の方程式は次のように表される． まず，基本は

$$ax+by+cz+d=0$$ (191)

である． このとき，法線ベクトルは $\vec{n}=\begin{bmatrix}{a}\\ [-.5ex]{b}\\ [-.5ex]{c}\end{bmatrix}$ である． また，この式を変形して

$$a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$$ (192)

と表す．このとき， 法線ベクトルは $\vec{n}=\begin{bmatrix}{a}\\ [-.5ex]{b}\\ [-.5ex]{c}\end{bmatrix}$ であり， 平面は点 $(x_0,y_0,z_0)$ を通る． さらに変形して，

$$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$$ (193)

とする．このとき平面と $x$ 軸，$y$ 軸，$z$ 軸との 交点はそれぞれ $x=a$, $y=b$, $z=c$ となる．

例 1.155 ( $\mathbb{R}^3$ の平面の方程式の具体例)   $\mathbb{R}^3$ 内の平面の方程式

$$x-2y+3z+4=0$$ (194)

を考える． 法線ベクトルは $\vec{n}=\begin{bmatrix}{1}\\ [-.5ex]{-2}\\ [-.5ex]{3}\end{bmatrix}$ である． また，方程式を変形して

$$\frac{x}{-4}+ \frac{y}{2}+ \frac{z}{-\frac{4}{3}}=1$$ (195)

を得る． 平面は点 $(-4,0,0)$, $(0,2,0)$, $(0,0,-4/3)$ を通る．

平成20年2月2日