1.33 平面と直線の交点

注意 1.163 (平面と直線の交点)   $ \mathbb{R}^n$ 空間内の平面

$\displaystyle \vec{n}\cdot(\vec{x}-\vec{q})=0$ (213)

と直線

$\displaystyle \vec{x}=\vec{x}(t)= \vec{x}_{0}+t\vec{p}$ (214)

との交点を考える. これを平面の方程式に代入すると

$\displaystyle \vec{n}\cdot(\vec{x}_{0}+t\vec{p}-\vec{q})=0$ (215)

であるから,$ t$ についてまとめると

$\displaystyle t$ $\displaystyle =t^{*}=- \frac{\vec{n}\cdot(\vec{x}_{0}-\vec{q})}{\vec{n}\cdot\vec{p}}$ (216)

を得る. よって直線の方程式に代入すると

$\displaystyle \vec{x}(t^{*})=\vec{x}_{1}= \vec{x}_{0}- \frac{\vec{n}\cdot(\vec{x}_{0}-\vec{q})}{\vec{n}\cdot\vec{p}} \vec{p}$ (217)

となる. 平面と直線の交点の位置ベクトルは $ \vec{x}_{1}$ である.

1.164 (平面と直線の交点の具体例)   平面

$\displaystyle x-y+3z+1=0$ (218)

と直線

$\displaystyle \frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z-3}{4}$ (219)

との交点を考える. 直線の方程式のパラメータ表示は

$\displaystyle x=3t+2\,,\quad y=-2t-1\,,\quad z=4t+3$ (220)

である.これを平面の方程式に代入すると

$\displaystyle (3t+2)-(-2t-1)+3(4t+3)+1=0$ (221)

より

$\displaystyle t=-\frac{13}{17}$ (222)

を得る. 直線の方程式のパラメータ表示に代入すると

$\displaystyle x=-\frac{5}{17}\,,\quad y=\frac{9}{17}\,,\quad z=-\frac{13}{17}\,$ (223)

となり,交点は $ (-5/17,9/17,-13/17)$ である.


平成20年2月2日