1.34 点の平面への正射影
定義 1.165 (点の平面への正射影)空間内の点
と平面を考える. 点
から平面へ垂線を下ろしたときの足
を正射影という. 点
から点
への変換を射影変換という.
注意 1.166 (点の平面への正射影) 点から平面
(224)
への正射影を考える. 点
から平面への垂線は平面と直交する. よって垂線の方向ベクトルと平面の法線ベクトル
は等しい. 垂線は点
を通り 方向ベクトルが
であるので, 垂線の方程式は
(225)
と表される. 垂線と平面の交点が正射影である. 交点
を求める. 垂線の方程式を平面の方程式に代入すると
(226)
であり,についてまとめると
(227)
が成り立つ. これを垂線の方程式に代入し,交点
(228)
を得る.
例 1.167 (点の平面への正射影) 点の平面
への正射影
を考える. 平面の法線ベクトルは
であるから, 点
を通り平面に垂直な直線の方程式は
(229)
となる. パラメータ表示すると
(230)
である. これを平面の方程式に代入すると
(231)
よりを得る. これを垂線の方程式に代入すると
(232)
であり,正射影を得る.
平成20年2月2日