1.34 点の平面への正射影

定義 1.165 (点の平面への正射影)   $\mathbb{R}^{n}$ 空間内の点 $A$ と平面を考える． 点 $A$ から平面へ垂線を下ろしたときの足 $B$ を正射影という． 点 $A$ から点 $B$ への変換を射影変換という．

注意 1.166 (点の平面への正射影)   点 $A(\vec{x}_{0})$ から平面

$$\vec{n}\cdot(\vec{x}-\vec{q})=0$$ (224)

への正射影 $B(\vec{x}_{1})$ を考える． 点 $A$ から平面への垂線は平面と直交する． よって垂線の方向ベクトルと平面の法線ベクトル $\vec{n}$ は等しい． 垂線は点 $A(\vec{x}_{0})$ を通り 方向ベクトルが $\vec{n}$ であるので， 垂線の方程式は

$$\vec{x}(t)=\vec{x}_{0}+t\vec{n}$$ (225)

と表される． 垂線と平面の交点が正射影 $B(\vec{x}_{1})$ である． 交点 $\vec{x}_{1}$ を求める． 垂線の方程式を平面の方程式に代入すると

$$\vec{n}\cdot(\vec{x}_{0}+t\vec{n}-\vec{q})=0$$ (226)

であり，$t$ についてまとめると

$$t=t^{*}= -\frac{\vec{n}\cdot(\vec{x}_{0}-\vec{q})}{\vec{n}\cdot\vec{n}}= -\frac{\vec{n}\cdot(\vec{x}_{0}-\vec{q})}{\Vert\vec{n}\Vert^2}$$ (227)

が成り立つ． これを垂線の方程式に代入し，交点

$$\vec{x}_{1}=\vec{x}(t^{*})= \vec{x}_{0}- \frac{\vec{n}\cdot(\vec{x}_{0}-\vec{q})}{\Vert\vec{n}\Vert^2}\vec{n}$$ (228)

を得る．

例 1.167 (点の平面への正射影)   点 $A(1,-2,4)$ の平面 $2x+3y-z+1=0$ への正射影 $B$を考える． 平面の法線ベクトルは $\vec{n}=\begin{bmatrix}{2}\\ [-.5ex]{3}\\ [-.5ex]{-1}\end{bmatrix}$ であるから， 点 $A$ を通り平面に垂直な直線の方程式は

$$\frac{x-1}{2}= \frac{y+2}{3}= \frac{z-4}{-1}=t$$ (229)

となる． パラメータ表示すると

$$x=2t+1\,,\quad y=3t-2\,,\quad z=-t+4$$ (230)

である． これを平面の方程式に代入すると

$$2(2t+1)+3(3t-2)-(-t+4)+1=0$$ (231)

より $t=1/2$ を得る． これを垂線の方程式に代入すると

$$x=2\frac{1}{2}+1=2\,,\quad y=3\frac{1}{2}-2=-\frac{1}{2}\,,\quad z=-\frac{1}{2}+4=\frac{7}{2}$$ (232)

であり，正射影 $B(2,-1/2,7/2)$ を得る．

平成20年2月2日