1.35 点と平面との距離

定義 1.168 (点と平面との距離)   $\mathbb{R}^{n}$ 空間内の点 $A$ と平面を考える． 点 $A$ と平面上の点 $B$ との距離が最小となるとき， その距離を点と平面との距離という．

定理 1.169 (点と平面との距離)   $\mathbb{R}^{n}$ 空間内の点 $A$ と平面を考える． 点 $A$ と平面上の点 $B$ との距離が最小となるのは 直線 $AB$ と平面が直交するときである．

例 1.170 (点と平面との距離)   点 $A(1,-2,4)$ の平面 $2x+3y-z+1=0$ への 正射影は $B(2,-1/2,7/2)$ である． 直線 $AB$ は平面に直交する． 距離 $\overline{AB}$ が点と平面との距離である． よって距離は

$$\sqrt{ \left(2-1\right)^2+ \left(-\frac{1}{2}+2\right)^2+ \left(\frac{7}{2}-4\right)^2}= \sqrt{\frac{7}{2}}$$ (233)

である．

定理 1.171 (点と平面との距離)   $\mathbb{R}^{n}$ 空間内の点 $A(\vec{x}_{0})$ と 超平面 $\vec{n}\cdot(\vec{x}-\vec{q})=0$ を考える． 点 $A$ と平面との距離は

$$\frac{\left\vert\vec{n}\cdot(\vec{x}_{0}-\vec{q})\right\vert} {\Vert\vec{n}\Vert}$$ (234)

である．

問 1.172 (点と平面との距離)   これを示せ．

（証明） 点 $A(\vec{x}_{0})$ から平面 $\vec{n}\cdot(\vec{x}-\vec{q})=0$ への 正射影を $B(\vec{x}_{1})$ とする． 距離 $\overline{AB}=\Vert\vec{x}_{1}-\vec{x}_{0}\Vert$ が 点と平面の距離である． 正射影 $B(\vec{x}_{1})$ は

$$\vec{x}_{1}= \vec{x}_{0}- \frac{\vec{n}\cdot(\vec{x}_{0}-\vec{q})}{\Vert\vec{n}\Vert^2} \vec{n}$$ (235)

であるから，

$$(\vec{x}_{1}-\vec{x}_{0})\cdot(\vec{x}_{1}-\vec{x}_{0})= \left( \... ...}= \left( \frac{\vec{n}\cdot(\vec{x}_{0}-\vec{q})}{\Vert\vec{n}\Vert} \right)^2$$ (236)

より，

$$\Vert\vec{x}_{1}-\vec{x}_{0}\Vert= \frac{\vert\vec{n}\cdot(\vec{x}_{0}-\vec{q})\vert}{\Vert\vec{n}\Vert}$$ (237)

を得る．

平成20年2月2日