1.38 ちょっとまとめ

まとめ 1.180 (直線，平面) 同じ記号が同じ形である．

$\mathbb{R}^2$ において，
点： $(*)\quad\vec{x}=\vec{x}_0$ $\quad\Leftrightarrow\quad$ (○)
直線： $(**)\quad\vec{x}(t)=\vec{x}_0+t\vec{p}$ $\quad\Leftrightarrow\quad$ (□)

$\mathbb{R}^3$ において，
点： $(*)\quad\vec{x}=\vec{x}_0$ $\quad\Leftrightarrow\quad$     (○)
直線： $(**)\quad\vec{x}(t)=\vec{x}_0+t\vec{p}$ $\quad\Leftrightarrow\quad$ (△)     $\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$ $\quad\Leftrightarrow\quad$ (◎)     $\begin{displaymath}\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0 \\ a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0 \end{array}\right.}\end{displaymath}$
平面： $(*\!*\!*)\quad\vec{x}(t,s)=\vec{x}_0+t\vec{u}+s\vec{v}$ $\quad\Leftrightarrow\quad$ $\vec{n}\cdot(\vec{x}-\vec{x}_0)=0$ $\quad\Leftrightarrow\quad$ (□)
$\mathbb{R}^4$ において，

点： $\displaystyle \quad$	$\displaystyle (x_0,y_0,z_0,w_0) \quad($ ○ $\displaystyle )$	$\displaystyle \vec{x}=\vec{x}_0 \quad(*)$
直線： $\displaystyle \quad$	$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} a_1x+b_1y+c_1z+d_1w+e_1=0 \\ a_2x+b_2y+c_2z+d_2w+e_2=0 \\ a_3x+b_3y+c_3z+d_3w+e_3=0 \end{array}\right.($ ◎ $\displaystyle )$	$\displaystyle \vec{x}(t_1)=\vec{x}_0+t_1\vec{u}_1 \quad(**)$
	$\displaystyle \Leftrightarrow\quad \frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}=\frac{w-w_0}{d} \quad($ △ $\displaystyle )\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!$
平面： $\displaystyle \quad$	$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} a_1x+b_1y+c_1z+d_1w+e_1=0 \\ a_2x+b_2y+c_2z+d_2w+e_2=0 \end{array}\right.($ ◎ $\displaystyle )$	$\displaystyle \vec{x}(t_1,t_2)=\vec{x}_0+t_1\vec{u}_1+t_2\vec{u}_2 \quad(\!\!*)$
超平面： $\displaystyle \quad$	$\displaystyle ax+by+cz+dw+e=0\quad($ □ $\displaystyle )$	$\displaystyle \vec{x}(t_1,t_2,t_3)=\vec{x}_0+t_1\vec{u}_1+t_2\vec{u}_2+t_3\vec{u}_3 \quad(\!\!**)$
	$\displaystyle \Leftrightarrow\quad \vec{n}\cdot(\vec{x}-\vec{x}_0)=0$

$\mathbb{R}^5$ において，

点： $\displaystyle \quad$	$\displaystyle (x_0,y_0,z_0,w_0,u_0) \quad($ ○ $\displaystyle )$	$\displaystyle \vec{x}=\vec{x}_0 \quad(*)$
直線： $\displaystyle \quad$	$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} a_1x+b_1y+c_1z+d_1w+e_1u+f_1=0 \\ a_2x+b... ...b_3y+c_3z+d_3w+e_3u+f_3=0 \\ a_4x+b_4y+c_4z+d_4w+e_4u+f_4=0 \end{array}\right.($ ◎ $\displaystyle )$	$\displaystyle \vec{x}(t_1)=\vec{x}_0+t_1\vec{v}_1 \quad(**)$
	$\displaystyle \Leftrightarrow\quad \frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}=\frac{w-w_0}{d} =\frac{u-u_0}{d} \quad($ △ $\displaystyle )\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!$
平面： $\displaystyle \quad$	$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} a_1x+b_1y+c_1z+d_1w+e_1u+f_1=0 \\ a_2x+b_2y+c_2z+d_2w+e_2u+f_2=0 \\ a_3x+b_3y+c_3z+d_3w+e_3u+f_3=0 \end{array}\right.($ ◎ $\displaystyle )$	$\displaystyle \vec{x}(t_1,t_2)=\vec{x}_0+t_1\vec{v}_1+t_2\vec{v}_2 \quad(\!\!*)$
超平面： $\displaystyle \quad$	$\displaystyle ax+by+cz+dw+eu+f=0\quad($ □ $\displaystyle )$	$\displaystyle \vec{x}(t_1,t_2,t_3,t_4)= \vec{x}_0+t_1\vec{v}_1+t_2\vec{v}_2+t_3\vec{v}_3+t_4\vec{v}_4 \quad(\!\!**)$
	$\displaystyle \Leftrightarrow\quad \vec{n}\cdot(\vec{x}-\vec{x}_0)=0$