1.37 平面と平面の交線
注意 1.177 (平面と平面の共通集合は直線),
,
に関する非同次 1 次方程式の一般形は
である.この方程式は空間内の 法線ベクトルが
で点
を通る平面を表す. 非同次 1 次方程式を 2 本の方程式で連立すると
である.方程式のそれぞれは法線ベクトルがと
の 平面を表す. よって, この連立方程式の解集合は, 2 つの平面の共有点の集合である直線
(244)
となる. ただし, 交線をもつのは 法線ベクトルと
とが同じ向きではないときに限られる.
例 1.178 (平面と平面の交線) 二つの平面
(245)
の交線を求める. 第一式を倍し第二式の加えると
(246)
となる. 第二式をで割ると
(247)
となる. 第二式を第一式に加えると
(248)
となる.とおくと
(249)
を得る. 交線は点を通る 方向ベクトル
の直線である.
例 1.179 (平面と平面の交線) 連立方程式
で定まる直線を考える. この直線は 2 つの平面の共有点である. 第 2 式から第 1 式を引いてを消去すると
であり,第 1 式と第 2 式を足してを消去すると
となる. これらより
を得る. 直線は点を通り, 方向ベクトル
の直線である. また,パラメータ表示すると
である.は任意であるから,
を
と置き換えると,
となり,式が簡単となる. このとき平面の方程式は
となる.直線は点も通る.
平成20年2月2日