2.17 分割された行列の積

定理 2.68 (分割された行列の積)   行列 $ A=[a_{ij}]_{m\times n}$, $ B=[b_{ij}]_{n\times r}$ を分割し,

$\displaystyle A$ $\displaystyle = \begin{bmatrix}A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1t} \\ A_{21} & A_...
... \vdots & \ddots & \vdots \\ B_{t1} & B_{t2} & \cdots & B_{tu} \end{bmatrix}\,,$ (339)
  $\displaystyle A_{ij}=[a_{kl}]_{m_{i}\times n_{j}}\quad (i=1,2,\cdots,s;\,j=1,2,\cdots,t)\,,$ (340)
  $\displaystyle B_{ij}=[b_{kl}]_{n_{i}\times r_{j}}\quad (i=1,2,\cdots,t;\,j=1,2,\cdots,u)\,,$ (341)
  $\displaystyle m_{1}+m_{2}+\cdots+m_{s}=m\,,\quad m_{i}\geq1\,,$ (342)
  $\displaystyle n_{1}+n_{2}+\cdots+n_{t}=n\,,\quad n_{j}\geq1\,,$ (343)
  $\displaystyle r_{1}+r_{2}+\cdots+r_{u}=r\,,\quad r_{j}\geq1\,$ (344)

と表したとき,行列の積 $ AB$

$\displaystyle AB$ $\displaystyle = \begin{bmatrix}C_{11} & C_{12} & \cdots & C_{1u} \\ C_{21} & C_...
... \vdots & \ddots & \vdots \\ C_{s1} & C_{s2} & \cdots & C_{su} \end{bmatrix}\,,$ (345)
$\displaystyle C_{ij}$ $\displaystyle =A_{i1}B_{1j}+A_{i2}B_{2j}+\cdots+A_{it}B_{tj}= \sum_{k=1}^{t}A_{ik}B_{kj}$ (346)

と与えられる.

2.69   これを示せ.

2.70 (分割された行列の積の具体例)   行列

$\displaystyle A$ $\displaystyle = \left[ \begin{array}{cc\vert c\vert cc} 1 & 2 & 4 & 5 & 1 \\ \h...
... -1 & 2 \\ 0 & 3 \\ \hline 1 & -2 \\ \hline -1 & 1 \\ 2 & -3 \end{array}\right]$ (347)

の積 $ AB=C$ を考える. このとき行列を分割し

$\displaystyle A$ $\displaystyle = \begin{bmatrix}A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_...
... B_{31} \end{bmatrix}\,, \quad C= \begin{bmatrix}C_{11} \\ C_{21} \end{bmatrix}$ (348)

とする.$ C$ の部分行列は

$\displaystyle C_{11}$ $\displaystyle = A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21}+A_{13}B_{31}$ (349)
  $\displaystyle = \begin{bmatrix}1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}-1 & 2 \\ 0 &...
...begin{bmatrix}5 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}-1 & 1 \\ 2 & -3 \end{bmatrix}$ (350)
  $\displaystyle = \begin{bmatrix}-1 & 8 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix}4 & -8 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix}-3 & 2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}0 & 2 \end{bmatrix}$ (351)
$\displaystyle C_{21}$ $\displaystyle =A_{21}B_{11}+A_{22}B_{21}+A_{23}B_{31}$ (352)
  $\displaystyle = \begin{bmatrix}0 & 2 \\ 3 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}-1 &...
...trix}1 & 3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}-1 & 1 \\ 2 & -3 \end{bmatrix}$ (353)
  $\displaystyle = \begin{bmatrix}0 & 6 \\ -3 & 6 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix}1 ...
...x}5 & -8 \\ 2 & -3 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}6 & -4 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$ (354)

となるので,結局積として

$\displaystyle C$ $\displaystyle = \begin{bmatrix}C_{11} \\ C_{21} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}\...
...{bmatrix} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}0 & 2 \\ 6 & -4 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$ (355)

を得る.

2.71 (分割された行列の積の計算例)  

$\displaystyle \begin{bmatrix}A_{1} & O \\ O & A_{2} \end{bmatrix} \begin{bmatri...
...\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}A_{1}B_{1} & O \\ O & A_{2}B_{2} \end{bmatrix}\,.$ (356)

(証明)

(左辺)$\displaystyle = \begin{bmatrix}A_{1}B_{1}+OO & A_{1}O+OB_{2} \\ OB_{2}+A_{2}O &...
...} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}A_{1}B_{1} & O \\ O & A_{2}B_{2} \end{bmatrix}=$   (右辺)$\displaystyle \,.$ (357)

2.72 (分割された行列の積の計算例)   行列の積

$\displaystyle \left[\begin{array}{cc\vert cc} 2 & 1 & 1 & 0 \\ 4 & 3 & 0 & 1 \\...
...\\ 3 & 2 & 0 & 1 \\ \hline 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{array}\right]$ (358)

を考える. これは

$\displaystyle \left[\begin{array}{c\vert c} A & E \\ \hline O & B \end{array}\right] \left[\begin{array}{c\vert c} C & E \\ \hline O & D \end{array}\right]$ (359)

という形をしている. よって積は

  $\displaystyle \left[ \begin{array}{c\vert c} AC & A+D \\ \hline O & BD \end{arr...
...1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \end{array} \right]$ (360)
  $\displaystyle = \begin{bmatrix}5 & 4 & 4 & 2 \\ 7 & 7 & 5 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ (361)

と求まる.


平成20年2月2日