2.19 演習問題 〜 行列の演算

問 2.77 (行列)   次の成分で与えられる 行列 $${\left[\,\,a_{i,j} \,\,\right]_{5\times 5}}$$ を 具体的に書き下せ．
    (1)  $a_{i,j}=i$     (2)  $a_{i,j}=j$     (3)   $a_{i,j}=i+j$     (4)   $a_{i,j}=i-j$     (5)   $${a_{i,j}=\frac{1}{i+j}}$$
    (6)   $a_{i,j}=(b_j)^{i-1}$     (7)   $a_{i,j}=b_{i+j-2}$     (8)   $a_{i,j}=b_{i-j}$     (9)   $a_{i,j}=\delta_{i,j}$     (10)   $a_{i,j}=\delta_{i-1,j}$
    (11)   $a_{i,j}=\delta_{i,j-1}$     (12)   $a_{i,j}=\delta_{i,j}+\alpha\delta_{i-1,j}+\beta\delta_{i,j-1}$

問 2.78 (行列のいろいろ)   次の行列のうち 零行列，正方行列，対角行列，単位行列，スカラー行列， 上三角行列，下三角行列，対称行列，交代行列（歪対称行列）， エルミート行列，歪エルミート行列，直交行列，ユニタリー行列 に当てはまる行列をすべてあげよ．
    (1)   $\begin{bmatrix} 0 \!&\! 0 \!&\! 0 \!&\! 0 \\ [-.5ex] 0 \!&\! 0 \!&\! 0 \!&\! 0... ...x] 0 \!&\! 0 \!&\! 0 \!&\! 0 \\ [-.5ex] 0 \!&\! 0 \!&\! 0 \!&\! 0 \end{bmatrix}$     (2)   $\begin{bmatrix} 1 \!&\! 0 \!&\! 0 \!&\! 0 \\ [-.5ex] 0 \!&\! 2 \!&\! 0 \!&\! 0... ...] 0 \!&\! 0 \!&\! -3 \!&\! 0 \\ [-.5ex] 0 \!&\! 0 \!&\! 0 \!&\! 3 \end{bmatrix}$     (3)   $\begin{bmatrix} 1 \!&\! 0 \!&\! 0 \!&\! 0 \\ [-.5ex] 0 \!&\! 1 \!&\! 0 \!&\! 0... ...x] 0 \!&\! 0 \!&\! 1 \!&\! 0 \\ [-.5ex] 0 \!&\! 0 \!&\! 0 \!&\! 1 \end{bmatrix}$     (4)   $\begin{bmatrix} 3 \!&\! 0 \!&\! 0 \!&\! 0 \\ [-.5ex] 0 \!&\! 3 \!&\! 0 \!&\! 0... ...x] 0 \!&\! 0 \!&\! 3 \!&\! 0 \\ [-.5ex] 0 \!&\! 0 \!&\! 0 \!&\! 3 \end{bmatrix}$     (5)   $\begin{bmatrix} 1 \!&\! 7 \!&\! 4 \!&\! 5 \\ [-.5ex] 0 \!&\! -1 \!&\! 2 \!&\! ... ...] 0 \!&\! 0 \!&\! 3 \!&\! -3 \\ [-.5ex] 0 \!&\! 0 \!&\! 0 \!&\! 3 \end{bmatrix}$
    (6)   $\begin{bmatrix} 2 \!&\! 0 \!&\! 0 \!&\! 0 \\ [-.5ex] 3 \!&\! -2 \!&\! 0 \!&\! ... ...] -1 \!&\! 7 \!&\! 4 \!&\! 0 \\ [-.5ex] 2 \!&\! 6 \!&\! 3 \!&\! 5 \end{bmatrix}$     (7)   $\begin{bmatrix} 2 \!&\! -4 \!&\! 7 \!&\! 1 \\ [-.5ex] -4 \!&\! -2 \!&\! -3 \!&... ...] 7 \!&\! -3 \!&\! 3 \!&\! 9 \\ [-.5ex] 1 \!&\! 2 \!&\! 9 \!&\! 5 \end{bmatrix}$     (8)   $\begin{bmatrix} 0 \!&\! 1 \!&\! -2 \!&\! 3 \\ [-.5ex] -1 \!&\! 0 \!&\! -5 \!&\... ...2 \!&\! 5 \!&\! 0 \!&\! -1 \\ [-.5ex] -3 \!&\! -4 \!&\! 1 \!&\! 0 \end{bmatrix}$     (9)   $\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \!&\! \frac{1}{\sqrt{2}} \\ [-.5ex] \frac{1}{\sqrt{2}} \!&\! \frac{-1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$
    (10)   $\begin{bmatrix} 1 \!&\! 1\!+\!i \!&\! -3\!+\!2i \!&\! 5i \\ [-.5ex] 1-i \!&\! ... ...&\! 7 \!&\! -1 \!&\! 8i \\ [-.5ex] -5i \!&\! 3i \!&\! -8i \!&\! 3 \end{bmatrix}$     (11)   $\begin{bmatrix} 5i \!&\! 1\!+\!i \!&\! -3\!+\!2i \!&\! 5i \\ [-.5ex] -1\!+\!i ... ...\!&\! 7 \!&\! 2i \!&\! -8 \\ [-.5ex] 5i \!&\! -3i \!&\! 8 \!&\! i \end{bmatrix}$     (12)   $\begin{bmatrix} \frac{i}{\sqrt{2}} \!&\! \frac{1}{\sqrt{2}} \\ [-.5ex] \frac{1}{\sqrt{2}} \!&\! \frac{i}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$

問 2.79 (行列の演算)   次の関係式を証明せよ． ただし，$A,B,C,O,E$ はそれぞれにおいて演算が定義可能な 型の行列とする． $O$ は零行列，$E$ は単位行列， $a$, $b$ はスカラーとする．
    (1)  $A+B=B+A$     (2)  $A+O=A$, $O+A=A$     (3)   $(A+B)+C=A+(B+C)$
    (4)  $AE=A$, $EA=A$     (5)  $AO=O$, $OA=O$     (6)   $(AB)C=A(BC)$
    (7)   $A(B+C)=AB+AC$, $(A+B)C=AC+BC$     (8)  $0A=O$, $1A=A$
    (9)   $(ab)A=a(bA)$, $(aA)B=a(AB)$     (10)   $a(A+B)=aA+aB$, $(a+b)A=aA+bA$
    (11)   ${(A+B)}^{T}={A}^{T}+{B}^{T}$     (12)   ${(AB)}^{T}={B}^{T}{A}^{T}$     (13)   $(A+B)^{*}=A^{*}+B^{*}$
    (14)   $(AB)^{*}=B^{*}A^{*}$

問 2.80 (行列の演算)   $A= \begin{bmatrix} 2\! & \!-5\! & \!1 \\ [-0.5ex] 3\! & \!0\! & \!-4 \end{bmatrix}$, $B= \begin{bmatrix} 1\! & \!-2\! & \!-3 \\ [-0.5ex] 0\! & \!-1\! & \!5 \end{bmatrix}$, $C= \begin{bmatrix} 0\! & \!1\! & \!-2 \\ [-0.5ex] 1\! & \!-1\! & \!-1 \end{bmatrix}$ に対して，$3A+4B-2C$ を求めよ．

問 2.81 (行列の演算)   $A= \begin{bmatrix} 1\! & \!-\!2 \\ [-0.5ex] \!-\!3\! & \!4 \end{bmatrix}$, $B= \begin{bmatrix} 5\! & \!3 \\ [-0.5ex] 2\! & \!-\!1 \end{bmatrix}$, $C= \begin{bmatrix} 6\! & \!4 \\ [-0.5ex] 3\! & \!5 \end{bmatrix}$ に対して，次を求めよ．
    (1)   $(A+B+C)+(A-B+C)$     (2)   $3(A+B)-2(3A-5B)$

問 2.82 (行列の演算)   $A= \begin{bmatrix} 1\! & \!0 \\ [-0.5ex] 2\! & \!1 \end{bmatrix}$, $B= \begin{bmatrix} 2\! & \!1 \\ [-0.5ex] -1\! & \!2 \end{bmatrix}$ に対して，次を計算せよ．

    (1)   $(A\!+\!B)^2$     (2)   $A^2\!+\!2AB\!+\!B^2$     (3)   $A^2\!-\!B^2$     (4)   $(A\!-\!B)(A\!+\!B)$     (5)   $(A\!+\!B)(A\!-\!B)$

問 2.83 (行列の演算)   $A= \begin{bmatrix} 1\! & \!2 \\ [-0.5ex] 4\! & \!-3 \end{bmatrix}$ に対して，$A^2$，$A^3$，$2A^3-4A+E$ を求めよ．

問 2.84 (行列の演算)   行列 $A$, $B$, $C$, $D$ に対して，次の演算が可能ならば計算をせよ．

$$A= \begin{bmatrix}1\! & \!2 \\ [-0.5ex] 0\! & \!1 \\ [-0.5ex] 1\!... ...0.5ex] 0 \end{bmatrix}, \quad D= \begin{bmatrix}0\! & \!1\! & \!0 \end{bmatrix}$$

    (1)  $AB$     (2)  $BA$     (3)  $DC$     (4)  $CD+B$     (5)  $2A+B$     (6)  $BC-4C$     (7)  $DA$
    (8)  $A^2$     (9)  $B^2$     (10)  $B^3$

問 2.85 (行列の演算)   行列 $A= \begin{bmatrix} 1\! & \!2\! & \!0 \\ [-0.5ex] 3\! & \!-1\! & \!4 \end{bmatrix}$ のとき $A {A}^{T}$, ${A}^{T}A$ を求めよ．

問 2.86 (行列の演算)   行列 $A$, $B$, $C$, $D$ に対して，次の演算が可能ならば計算をせよ．

$$A= \begin{bmatrix}1\! & \!-1\! & \!2 \\ [-0.5ex] 0\! & \!3\! & \!... ...d{bmatrix},\quad D= \begin{bmatrix}2 \\ [-0.5ex] -1 \\ [-0.5ex] 3 \end{bmatrix}$$

    (1)  $A+B$     (2)  $A+C$     (3)  $3A-4B$     (4)  $AB$     (5)  $AC$     (6)  $AD$     (7)  $BC$
    (8)  $BD$     (9)  $CD$     (10)  ${A}^{T}$     (11)  ${A}^{T}C$     (12)   ${D}^{T}{A}^{T}$     (13)  ${B}^{T}A$     (14)  ${D}^{T}D$

問 2.87 (行列の演算)   次の計算をせよ．
    (1)   $3 \begin{bmatrix} 2 \\ [-0.5ex] -7 \\ [-0.5ex] 1 \end{bmatrix}$ $-5 \begin{bmatrix} -1 \\ [-0.5ex] 4 \\ [-0.5ex] -2 \end{bmatrix}$     (2)   $\begin{bmatrix} 2\! & \!3 \\ [-0.5ex] -1\! & \!4 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 3 \\ [-0.5ex] 1 \end{bmatrix}$     (3)   $\begin{bmatrix} 2\! & \!-1 \\ [-0.5ex] 7\! & \!6 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 3 \\ [-0.5ex] -5 \end{bmatrix}$     (4)   $\begin{bmatrix} 2\! & \!3 \\ [-0.5ex] -1\! & \!4 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} -3\! & \!4 \\ [-0.5ex] 1\! & \!1 \end{bmatrix}$
    (5)   $\begin{bmatrix} 2\! & \!-3 \\ [-0.5ex] 1\! & \!4 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} -1\! & \!0 \\ [-0.5ex] 2\! & \!5 \end{bmatrix}$     (6)   $\begin{bmatrix} 2\! & \!1 \\ [-0.5ex] 1\! & \!3 \\ [-0.5ex] 1\! & \!-1 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 1\! & \!-1\! & \!2 \\ [-0.5ex] 1\! & \!2\! & \!3 \end{bmatrix}$     (7)   $\begin{bmatrix} 4\! & \!-1\! & \!5 \\ [-0.5ex] 0\! & \!1\! & \!2 \\ [-0.5ex] 2\! & \!-1\! & \!0 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 2 \\ [-0.5ex] 1 \\ [-0.5ex] -1 \end{bmatrix}$

    (8)   $\begin{bmatrix} 1\! & \!2\! & \!-3 \\ [-0.5ex] 2\! & \!-3\! & \!1 \\ [-0.5ex] 8\! & \!1\! & \!-5 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 1 \\ [-0.5ex] 2 \\ [-0.5ex] 3 \end{bmatrix}$     (9)   $\begin{bmatrix} -1\! & \!2\! & \!1 \\ [-0.5ex] 3\! & \!2\! & \!1 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 4\! & \!-1\! & \!1 \\ [-0.5ex] 2\! & \!2\! & \!-3 \\ [-0.5ex] 1\! & \!1\! & \!0 \end{bmatrix}$     (10)   $\begin{bmatrix} 1\! & \!-1\! & \!2 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 3\! & \!0\! & \!1 \\ [-0.5ex] 2\! & \!4\! & \!-1 \\ [-0.5ex] 1\! & \!-1\! & \!4 \end{bmatrix}$

    (11)   $\begin{bmatrix} 1\! & \!3 \\ [-0.5ex] -2\! & \!1 \\ [-0.5ex] 5\! & \!-4 \\ [-0.5ex] -3\! & \!1 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 1\! & \!-1\! & \!4 \\ [-0.5ex] -2\! & \!1\! & \!-1 \end{bmatrix}$     (12)   $\begin{bmatrix} 2\! & \!i \\ [-0.5ex] -i\! & \!3 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 2-i\! & \!i \\ [-0.5ex] 0\! & \!1+i \end{bmatrix}$

問 2.88 (巾行列)   次の巾行列を求めよ．ただし， $n=2,3,4\cdots$ とする．
    (1)   $\begin{bmatrix} a\! & \!b \\ [-0.5ex] c\! & \!-a \end{bmatrix}^2$     (2)   $\begin{bmatrix} 0\! & \!-\!1 \\ [-0.5ex] 1\! & \!0 \end{bmatrix}^2$     (3)   $\begin{bmatrix} 1\! & \!1\! & \!-\!1 \\ [-0.5ex] 2\! & \!-\!1\! & \!0 \\ [-0.5ex] 1\! & \!-\!2\! & \!1 \end{bmatrix}^3$     (4)   $\begin{bmatrix} 1\! & \!2 \\ [-0.5ex] 0\! & \!1 \end{bmatrix}^n$     (5)   $\begin{bmatrix} 1\! & \!1\! & \!0 \\ [-0.5ex] 0\! & \!1\! & \!1 \\ [-0.5ex] 0\! & \!0\! & \!1 \end{bmatrix}^n$     (6)   $\begin{bmatrix} 0\! & \!0\! & \!-\!1\! & \!0 \\ [-0.5ex] 0\! & \!0\! & \!0\! ... ...\! & \!0\! & \!0\! & \!0 \\ [-0.5ex] 0\! & \!1\! & \!0\! & \!0 \end{bmatrix}^n$

問 2.89 (行列の演算)   次の関係式をみたす行列 $X$ を求めよ．
    (1)   $A=\begin{bmatrix} 2\! & \!-3 \\ [-0.5ex] 4\! & \!5 \end{bmatrix}$, $B=\begin{bmatrix} -5\! & \!2 \\ [-0.5ex] 3\! & \!7 \end{bmatrix}$, $3X+2A=5B$

    (2)   $A=\begin{bmatrix} 1\! & \!2 \\ [-0.5ex] 3\! & \!4 \\ [-0.5ex] 5\! & \!0 \end{bmatrix}$, $B=\begin{bmatrix} -3\! & \!-2 \\ [-0.5ex] 1\! & \!-5 \\ [-0.5ex] 4\! & \!3 \end{bmatrix}$, $2A+B-5X=0$

    (3)   $A=\begin{bmatrix} -1\! & \!1\! & \!1 \\ [-0.5ex] 2\! & \!0\! & \!3 \end{bmatrix}$, $B=\begin{bmatrix} 5\! & \!3\! & \!5 \\ [-0.5ex] 4\! & \!4\! & \!9 \end{bmatrix}$, $3A=B-2X$

問 2.90 (行列の演算)   $3 \begin{bmatrix} x\! & \!y \\ [-0.5ex] z\! & \!w \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} x\! & \!6 \\ [-0.5ex] -1\! & \!2w \end{bmatrix}$ + $\begin{bmatrix} 4\! & \!x+y \\ [-0.5ex] z+w\! & \!3 \end{bmatrix}$ をみたす $x$, $y$, $z$, $w$ を求めよ．

問 2.91 (行列の演算)   $\begin{bmatrix} 0\! & \!c\! & \!b \\ [-0.5ex] c\! & \!0\! & \!a \\ [-0.5ex] b\... ...] ab\! & \!c^2+a^2\! & \!bc \\ [-0.5ex] ca\! & \!bc\! & \!a^2+b^2 \end{bmatrix}$ を証明せよ．

問 2.92 (行列の演算)   $A \!=\! \begin{bmatrix} a_1\! & \!a_2\! & \!a_3 \\ [-0.5ex] 0\! & \!a_4\! & \!a_5 \\ [-0.5ex] 0\! & \!0\! & \!a_6 \end{bmatrix}$ について $A {A}^{T}= \begin{bmatrix} 14\! & \!1\! & \!6 \\ [-0.5ex] 1\! & \!5\! & \!2 \\ [-0.5ex] 6\! & \!2\! & \!4 \end{bmatrix}$ となる $A$ を求めよ．

問 2.93 (乗算の可換性)   $X= \begin{bmatrix} 0\! & \!1 \\ [-0.5ex] -1\! & \!0 \end{bmatrix}$ とおく． $AX=XA$, $BX=XB$ をみたすならば， $AB=BA$ であることを示せ．

問 2.94 (乗算の可換性)   $AB=A$, $BA=B$ をみたすとき， $A^2=A$, $B^2=B$ となることを示せ．

問 2.95 (乗算の可換性)   次の行列と可換な正方行列をすべて求めよ．

    (1)   $\begin{bmatrix} 0\! & \!1 \\ [-0.5ex] -1\! & \!0 \end{bmatrix}$     (2)   $\begin{bmatrix} 1\! & \!1\! & \!0 \\ [-0.5ex] 0\! & \!1\! & \!1 \\ [-0.5ex] 0\! & \!0\! & \!1 \end{bmatrix}$

問 2.96 (行列の分割)   次の条件式をみたす行列 $A$ を求めよ．また，その転置行列 ${A}^{T}$ を求めよ． ただし， $a\not=0$, $b\not=0$, $c\not=0$ とする．
    (1)   $\begin{bmatrix} 2a\! & \!3a+2\! & \!-b\! & \!3c \\ [-0.5ex] -a\! & \!2a-1\! & ... ...] 0\! & \!0\! & \!b\! & \!0 \\ [-0.5ex] 0\! & \!0\! & \!0\! & \!c \end{bmatrix}$     (2)   $\begin{bmatrix} -a\! & \!b\! & \!2b+1\! & \!c \\ [-0.5ex] a\! & \!3b\! & \!b+3... ... 0\! & \!0\! & \!b\! & \!0 \\ [-0.5ex] 0\! & \!0\! & \!0\! & \!c \end{bmatrix}$

平成20年2月2日