3.1 連立 1 次方程式の行列表現

連立 1 次方程式

$\displaystyle \left\{\begin{array}{rcrll} 2x & \!+\! & 3y & = & 7 \\ [.5ex] x & \!-\! & 4y & = & 9 \end{array}\right.$ (377)

を考える. 行列を用いて書き直すと等価な方程式として

$\displaystyle \begin{bmatrix}2 & 3 \\ 1 & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}7 \\ 9 \end{bmatrix}$ (378)

を得る. 一般に変数 $ n$ 個,方程式 $ m$ 本の連立 1 次方程式は

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n...
...\ \vdots \\ a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{mn}x_{n}=b_{m} \end{array}\right.$ (379)

と表される. これを連立 $ n$ 元 1 次方程式(simultaneous linear equations)という. 行列で書き直すと,

$\displaystyle \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{2...
...} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m} \end{bmatrix}$ (380)

となる. 行列をそれぞれ文字で置き換えて

$\displaystyle A\,\vec{x}=\vec{b}\,,\qquad A=[a_{ij}]_{m\times n}\,,\qquad \vec{x}=[x_{j}]_{n\times1}\,,\qquad \vec{b}=[b_{i}]_{m\times1}\,$ (381)

と表される. 行列により表現された方程式と 元の連立 1 次方程式は等価な方程式である.

$ \vec{b}=\vec{0}$ のとき同次連立 1 次方程式または単に 同次形(homogeneous equations???)という. $ \vec{b}\neq\vec{0}$ のとき非同次連立 1 次方程式または 非同次形(inhomogeneous equations???)という.

定義 3.1 (係数行列)   連立 1 次方程式 $ A\vec{x}=\vec{b}$ の 係数をまとめた行列

$\displaystyle A$ $\displaystyle = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_...
...\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}$ (382)

係数行列(coefficient matrix)と呼ぶ. 行列 $ A$$ \vec{b}$ を部分行列としてまとめた行列

$\displaystyle [A\vert\vec{b}]$ $\displaystyle = \left[\begin{array}{cccc\vert c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{...
...\vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_{m} \end{array}\right]$ (383)

のことを拡大係数行列(enlarged coefficient matrix)と呼ぶ.

3.2 (連立 1 次方程式の行列表現の具体例)   連立 1 次方程式

$\displaystyle \left\{\begin{array}{ccccc} 3x_{1} & -2x_{2} & +x_{3} & +x_{4} & ...
... & -3x_{3} & +x_{4} & =5 \\ 2x_{1} & -x_{2} & +9x_{3} & & =0 \end{array}\right.$ (384)

の係数行列と拡大係数行列は

$\displaystyle A$ $\displaystyle = \begin{bmatrix}3 & -2 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & -3 & 1 \\ 2 & -1 & 9 &...
...ix}3 & -2 & 1 & 4 & 7 \\ 1 & 0 & -3 & 1 & 5 \\ 2 & -1 & 9 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ (385)

である.行列を用いて方程式を書き直すと

$\displaystyle \begin{bmatrix}3 & -2 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & -3 & 1 \\ 2 & -1 & 9 & 0...
...x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}7 \\ 5 \\ 0 \end{bmatrix}$ (386)

と表される.

3.3   教科書(p.18)問題1.4 1.-2.


平成20年2月2日