3.2 ベクトルの 1 次結合と連立 1 次方程式

定義 3.4 (ベクトルの 1 次結合)   $m$ 個のベクトル $\vec{a}_{1},\vec{a}_{2},\cdots,\vec{a}_{m}$ が 与えられたとき，ベクトル

$$c_{1}\vec{a}_{1}+c_{2}\vec{a}_{2}+\cdots+c_{m}\vec{a}_{m}$$ (387)

を $\vec{a}_{1},\vec{a}_{2},\cdots,\vec{a}_{m}$ の 1 次結合（linear combination）と呼ぶ．

例 3.5 (ベクトルの 1 次結合の具体例)   2次の列ベクトル $\begin{bmatrix}{2}\\ [-.5ex]{3}\end{bmatrix}$ を $\begin{bmatrix}{1}\\ [-.5ex]{0}\end{bmatrix}$ と $\begin{bmatrix}{0}\\ [-.5ex]{1}\end{bmatrix}$ の 1 次結合で表すと

$$\begin{bmatrix}2 \\ 3 \end{bmatrix}= 2 \begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}+ 3 \begin{bmatrix}0 \\ 1 \end{bmatrix}$$ (388)

となる．

連立 1 次方程式 $A\vec{x}=\vec{b}$ の 係数行列 $A$ を 列ベクトルで分割し $A=[\vec{a}_{1},\cdots,\vec{a}_{n}]$ と書き直すと， 方程式は

$$A\vec{x}= \begin{bmatrix}\vec{a}_{1} & \cdots & \vec{a}_{m} \end{... ...\\ x_{n} \end{bmatrix}= x_{1}\vec{a}_{1} + \cdots + c_{m} \vec{a}_{m} = \vec{b}$$ (389)

となる． すなわち $\vec{b}=x_{1}\vec{a}_{1} + \cdots + c_{m} \vec{a}_{m}$ となる． これはベクトル $\vec{b}$ を $\vec{a}_{1},\cdots,\vec{a}_{n}$ の 1 次結合で 表したものに他ならない． 連立 1 次方程式は 1 次結合の係数 $x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$ を 求める問題と等価である．

例 3.6 (ベクトルの 1 次結合と連立 1 次方程式の関係の具体例)   $\begin{bmatrix}{2}\\ [-.5ex]{3}\end{bmatrix}$ を $\begin{bmatrix}{3}\\ [-.5ex]{5}\end{bmatrix}$ と $\begin{bmatrix}{1}\\ [-.5ex]{3}\end{bmatrix}$ の 1 次結合で表す． すなわち

$$\begin{bmatrix}2 \\ 3 \end{bmatrix}= x_{1} \begin{bmatrix}3 \\ 5 \end{bmatrix}+ x_{2} \begin{bmatrix}1 \\ 3 \end{bmatrix}$$ (390)

を満たす係数 $x_{1}$, $x_{2}$ を求める． これを書き直すと

$$\begin{bmatrix}3 & 1 \\ 5 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}2 \\ 3 \end{bmatrix}$$ (391)

となる． 結局，連立 1 次方程式を求める問題に帰着する． これを解くと $x_{1}=3/4$, $x_{2}=-1/4$ となる． よって

$$\begin{bmatrix}2 \\ 3 \end{bmatrix}= \frac{3}{4} \begin{bmatrix}3 \\ 5 \end{bmatrix}- \frac{1}{4} \begin{bmatrix}1 \\ 3 \end{bmatrix}$$ (392)

を得る．

問 3.7   教科書（p.18） 問題1.4 3.-6.

平成20年2月2日