3.5 連立方程式の解の集合

注意 3.17 (連立方程式の解の集合)   連立方程式

$\displaystyle \left\{\begin{array}{ll} a_{11}x + a_{12}y & = b_1 \\ a_{21}x + a_{22}y & = b_2 \end{array}\right.$ (416)

を考える. 第 1 式,第 2 式をみたす点 $ (x,y)$ の集合は それぞれ $ \mathbb{R}^2$ 内の直線を表す. 連立方程式の解はこの 2 つの式を同時にみたす点の集合であるらか, 2 つの直線の交点が連立方程式の解となる. 交点をもつ条件は次の 3 つに分けられる.
(i)
1 点で交わる場合.このとき解は一意な解と呼ぶ.
(ii)
2 つの直線が重なり 1 つの直線となる場合. このとき交点は直線上のすべての点である. 解は一意には表すことができず, 任意定数を用いて表す. この解を任意定数を含む解と呼ぶことにする.
(iii)
2 つの直線が平行であり,交わらない場合. このとき解なしとなる.

注意 3.18 (連立方程式の解の集合)   上の 3 つ場合となるための $ a_{11},a_{12},a_{21},a_{22},b_1,b_2$ に関する条件を求めよ.

注意 3.19 (連立方程式の解の集合)   連立 1 次方程式

$\displaystyle x+y=1$ (417)

を考える. この方程式の解は直線上のすべての点であるから, 解が一意には定まらない. 解を具体的に書き下す. 方程式を変形すると

$\displaystyle y=1-x$ (418)

である. この式の右辺の $ x$ は任意の値をとることが可能である. 左辺の $ y$ は与えられた $ x$ の値に応じて値が一つ定まる. このとき解は

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x=c\\ y=1-c \end{array} \right.$ (419)

と表される. ただし $ c$ は任意の定数とする. また解は

$\displaystyle \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}c \\ 1-c \end...
... \\ 1 \end{bmatrix} +c \begin{bmatrix}1 \\ -1 \end{bmatrix}= \vec{q}+c\,\vec{p}$ (420)

と書ける. よって解全体がなす集合は点 $ \vec{q}$ を通り 方向ベクトル $ \vec{p}$ の直線となる. また,拡大係数行列は

$\displaystyle [A\,\vert\,\vec{b}]= \left[ \begin{array}{cc\vert c} 1 & 1 & 1 \end{array}\right]$ (421)

であり,掃き出し法の形には当てはまらない.

注意 3.20 (連立方程式の解の集合)   連立方程式

$\displaystyle \left\{\begin{array}{ll} a_{11}x + a_{12}y +a_{13}z & = b_1 \\ a_...
...{22}y +a_{23}z & = b_2 \\ a_{31}x + a_{32}y +a_{33}z & = b_3 \end{array}\right.$ (422)

を考える. 第 1 式,第 2 式,第 3 式をみたす点 $ (x,y,z)$ の集合は それぞれ $ \mathbb{R}^3$ 内の平面を表す. 平面の交点をもつ条件は次の 4 つに分けられる. (i) 1 点で交わる場合.(ii) 直線となる場合.(iii) 平面となる場合. (iv) 交点がない場合.

注意 3.21 (連立方程式の解の集合)   連立 1 次方程式

$\displaystyle \left\{\begin{array}{ccccc} x & & + & 2z & = 1 \\ & y & + & z & = 2 \end{array}\right.$ (423)

を考える. 方程式の解を書き下す. 方程式を書き直すと

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{ccc} x & = 1 & -2z \\ y & = 2 & -z \end{array}\right.$ (424)

となる. 左辺には $ x$, $ y$ があり, 右辺は $ z$ のみである. 右辺の $ z$ にある値が 1 つ与えらると, その $ z$ に応じて左辺の $ x$, $ y$ の値がそれぞれ定まる. よって $ c$ を任意の値として $ z=c$ とおくと, 解は

$\displaystyle \begin{bmatrix}x \\ y \\ z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1-2c \\ ...
...\ 1 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}= c\,\vec{p}+\vec{q}$ (425)

と表される. 解全体の集合は 3 次元空間 $ \mathbb{R}^3$ 内の 点 $ \vec{q}$ を通り方向ベクトル $ \vec{p}$ の直線である. また,拡大係数行列は

$\displaystyle [A\,\vert\,\vec{b}]= \left[ \begin{array}{ccc\vert c} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right]$ (426)

であり,掃き出し法の形には当てはまらない.


平成20年2月2日