3.11 同次形の解

定義 3.38 (同次形方程式)   $A\,\vec{x}=\vec{b}$ において $\vec{b}=0$ が成り立つとき， 方程式 $A\,\vec{x}=\vec{0}$ は同次形（homogeneous）と呼ぶ． $\vec{b}\neq\vec{0}$ とき非同次形（inhomogeneous）と呼ぶ．

定理 3.39 (同次形の解の存在)   同次方程式は $\mathrm{rank}\,(A)=\mathrm{rank}\,[A\vert\vec{0}]$ が常になり立つので， 常に解 $\vec{x}=\vec{0}$ をもつ．

定義 3.40 (同次形の自明解)   同次方程式 $A\,\vec{x}=\vec{0}$ の解 $\vec{x}=\vec{0}$ を 自明な解と呼ぶ．

定理 3.41 (同次方程式の解)   同次方程式 $A\,\vec{x}=\vec{0}$ について次の条件が成り立つ：

(1)

自明な解 $\vec{x}=\vec{0}$ のみをもつための必用十分条件は

$$\mathrm{rank}\,(A)=n$$ (466)

である．

(2)

$m<n$ のとき，方程式は自明でない解（任意定数を含む解）をもつ．

（証明）(1)前述の定理より唯一つの解をもつための必要十分条件は

$$\mathrm{rank}\,(A)=\mathrm{rank}\,([A\vert\vec{0}])=n$$ (467)

である． 拡大係数行列の一番右の列の $\vec{0}$ はランクに影響を与えない． よって定理の条件を得る．

(2) $\mathrm{rank}\,(A)\leq m$, $\mathrm{rank}\,(A)\leq n$ と条件 $m<n$ より

$$\mathrm{rank}\,(A)\leq m < n$$ (468)

を得る．(1)の定理より自明でない解をもつ． 証明終了．

例 3.42 (同次形方程式の解)   方程式

$$\begin{bmatrix}1 & -2 & 0 & 3 \\ 1 & -1 & 1 & 2 \end{bmatrix} \be... ...} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}0 \\ 0 \end{bmatrix}$$ (469)

を考える． 係数行列を簡約化して

$$\begin{bmatrix}1 & -2 & 0 & 3 \\ 1 & -1 & 1 & 2 \end{bmatrix}\to \begin{bmatrix}1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \end{bmatrix}$$ (470)

を得る．よって解は

$$\vec{x}= \begin{bmatrix}-2c_{1}-c_{2} \\ -c_{1}+c_{2} \\ c_{1} \\... ... \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\qquad (\forall c_{1}, \forall c_{2}\in\mathbb{R})$$ (471)

となる． 解は原点を通る2次元平面である．

例 3.43 (同次形方程式の解)   方程式

$$\begin{bmatrix}1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix} ... ...x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$ (472)

を考える． 係数行列を簡約化して

$$\begin{bmatrix}1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$ (473)

を得る． $\mathrm{rank}\,(A)=3$ であり， 任意定数の個数は $n-\mathrm{rank}\,(A)=3-3=0$ となるから， 解は一意な解となる． 以上より解は自明な解 $\vec{x}=\vec{0}$ のみである．

例 3.44 (同次形方程式の解)   方程式

$$\begin{bmatrix}1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}0 \\ 0 \end{bmatrix}$$ (474)

を考える． 行の個数と列の個数をみると $m=2<n=3$ であるから， 必ず $\mathrm{rank}\,(A)\geq 2$ となり， 任意定数の個数は $n-\mathrm{rank}\,(A)\leq 3-2=1$ となる． 必ず $1$ 個以上の任意定数を含むから， 解は非自明な解となる．

平成20年2月2日