1.6 内分点

定理 1.27 (内分点)   点 $A(\vec{a})$, $B(\vec{b})\in\mathbb{R}^{n}$ に対して 点 $P(\vec{p})$ が

$$AP:PB=t:1-t$$ (26)

を満すとき，

$$\vec{p}=\vec{p}(t)= \vec{a}+t(\vec{b}-\vec{a})= (1-t)\vec{a}+t\vec{b}\,, \qquad t\in\mathbb{R}$$ (27)

が成り立つ． $0<t<1$ のとき点 $P$ は点 $A$, $B$ の 内分点（internally dividing point）を表し， $t<0$, $1<t$ のとき 外分点（externally dividing point）を表す．

注意 1.28 (内分点とパラメータ)   端点は $\vec{p}(0)=\vec{a}$, $\vec{p}(1)=\vec{b}$ であり， $A$, $B$ の中点は $\vec{p}(1/2)=(\vec{a}+\vec{b})/2$ である．

例 1.29 (内分点の具体例)   点 $A(1,1)$, $B(2,-1)\in\mathbb{R}^{2}$ を考える． このとき $AP:PB=t:1-t$ とする内分点 $P(\vec{p})$ は

$$\vec{p}=(1-t)\vec{a}+t\vec{b}= (1-t) \begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{b... ...x}= \begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix}+ t \begin{bmatrix}1 \\ -2 \end{bmatrix}$$ (28)

と与えられる． 点 $P$ の座標を $(x,y)$ とする．このとき

$$\vec{p}= \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1+t \\ 1-2t \end{bmatrix}$$ (29)

より

$$\frac{x-1}{1}= \frac{y-1}{-2}=t$$ (30)

が成り立つ． $t$ を消去すると

$$2x+y-3=0$$ (31)

となる． この式は点 $A$, $B$ を通る $\mathbb{R}^2$ 内の直線の方程式を表す． 内分点 $P$ は直線上の点である．

問 1.30 (2 次元空間内の内分点)   点 $A(a_{1},a_{2})$, $B(b_{1},b_{2})$ を $AP:PB=t:1-t$ と 内分する点 $P(x,y)$ を求めよ． また，点 $A$, $B$ を通る直線の方程式を求めよ．

例 1.31 (内分点の具体例)   点 $A(1,1,1)$, $B(2,-1,1)\in\mathbb{R}^{3}$ を考える． このとき $AP:PB=t:1-t$ と内分する点 $P(\vec{p})$ は

$$\vec{p}= (1-t)\vec{a}+t\vec{b}= (1-t) \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 1 ... ...{bmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}+ t \begin{bmatrix}1 \\ -2 \\ 0 \end{bmatrix}$$ (32)

と与えられる． $P(x,y,z)$ とすると $\vec{p}=\begin{bmatrix}x \\ y \\ z\end{bmatrix}$ より

$$\frac{x-1}{1}= \frac{y-1}{-2}=t\,,\quad z=1$$ (33)

が成り立つ． この式は点 $A$, $B$ を通る $\mathbb{R}^3$ 内の直線の方程式を表す．

定理 1.32 (3 次元空間内の内分点と直線の方程式)   点 $A(a_{1},a_{2},a_{3})$, $B(b_{1},b_{2},b_{3})\in\mathbb{R}^3$ を 考える． $AP:PB=t:1-t$ と内分する点を $P(\vec{p})=P(x,y,z)$ とする． このとき

$$\vec{p}(t)=(1-t)\vec{a}+t\vec{b}=a+t(\vec{b}-\vec{a})$$ (34)

であり，

$$\begin{bmatrix}x \\ y \\ z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}a_{1} \\... ...trix}+ t \begin{bmatrix}b_{1}-a_{1} \\ b_{2}-a_{2} \\ b_{3}-a_{3} \end{bmatrix}$$ (35)

が成り立つ． 点 $A$, $B$ を通る $\mathbb{R}^3$ 内の 直線の方程式は

$$\frac{x-a_{1}}{b_{1}-a_{1}}= \frac{y-a_{2}}{b_{2}-a_{2}}= \frac{z-a_{3}}{b_{3}-a_{3}}=t$$ (36)

で与えられる．

注意 1.33 (内分点，外分点が成す集合は $1$ 次元)   パラメータ $t$ が一つ定まれば $\mathbb{R}^{n}$ 内の点が $\vec{p}(t)=(1-t)\vec{a}+t\vec{b}$ により 一つ定まる． $t$ は $\mathbb{R}^{1}$ 内の全ての点を動く． よって $\mathbb{R}^{1}$ 内の全ての点と直線 $\vec{p}(t)$ 上の全ての点は 一対一対応する． $\mathbb{R}^{1}$ は $1$ 次元の空間であるので 直線 $\vec{p}(t)$ が成す集合もまた $1$ 次元である．

平成20年2月2日