1.5 ベクトルの座標

定義 1.24 (ベクトルの座標)   位置ベクトル $\vec{x}\in\mathbb{R}^{n}$ が

$$\vec{x} = x_{1}\vec{e}_{1}+ x_{2}\vec{e}_{2}+ \cdots x_{n}\vec{e}_{n}$$ (18)

と表されるとき， 係数の組 $(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})$ を 基本ベクトル $\{\vec{e}_{1}$, $\vec{e}_{2}$, $\cdots$, $\vec{e}_{n}\}$ に関するベクトル $\vec{x}$ の 座標（coordinate）という．

また， $\mathbb{R}^{n}$ の基底（basis） （座標軸と同じ向きのベクトル） $\vec{u}_{1}$, $\vec{u}_{2}$, $\cdots$, $\vec{u}_{n}$ が 与えられているとする． 位置ベクトル $\vec{x}\in\mathbb{R}^{n}$ が

$$\vec{x} = y_{1}\vec{u}_{1}+ y_{2}\vec{u}_{2}+ \cdots y_{n}\vec{u}_{n}$$ (19)

と表されるとき， 係数の組 $(y_{1},y_{2},\cdots,y_{n})$ を 基底 $\{\vec{u}_{1}$, $\vec{u}_{2}$, $\cdots$, $\vec{u}_{n}\}$ に関するベクトル $\vec{x}$ の 座標（coordinate）という．

例 1.25 (ベクトルの座標の具体例)   $\mathbb{R}^{2}$ 空間とその中の点

$$\vec{c}_{1}=2\vec{a}+\vec{b}\,,\quad \vec{c}_{2}=3\vec{a}-\vec{b}\,,\quad \vec{c}_{3}=\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}\quad \in\mathbb{R}^{2}$$ (20)

を考える． ただし，$\vec{a}$, $\vec{b}$ は基底であり，

$$\Sigma'= \left\{\vec{a},\vec{b}\right\}= \left\{ \begin{bmatrix}1 \\ -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}2 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$$ (21)

とする． このとき

$$\vec{c}_{1} = \begin{bmatrix}4 \\ -1 \end{bmatrix}= 4\vec{e}_{1}-\vec{e}_{2}\,,$$ (22)

$$\vec{c}_{2} = \begin{bmatrix}1 \\ -4 \end{bmatrix}= \vec{e}_{1}-4\vec{e}_{2}\,,$$ (23)

$$\vec{c}_{3} = \begin{bmatrix}\alpha+2\beta \\ -\alpha+\beta \end{bmatrix}= (\alpha+2\beta)\vec{e}_{1}+ (-\alpha+\beta)\vec{e}_{2}$$ (24)

が成り立つ． ベクトル $\vec{c}_{1}$, $\vec{c}_{2}$, $\vec{c}_{3}$ の 基本ベクトル

$$\Sigma= \{\vec{e}_{1},\vec{e}_{2}\}= \left\{ \begin{bmatrix}1\\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\ 1 \end{bmatrix} \right\}$$ (25)

に関する座標はそれぞれ $(4,-1)_{\Sigma}$, $(1,-4)_{\Sigma}$, $(\alpha+2\beta,-\alpha+\beta)_{\Sigma}$ である． ベクトル $\vec{c}_{1}$, $\vec{c}_{2}$, $\vec{c}_{3}$ の 基底 $\{\vec{a}$, $\vec{b}\}$ に関する座標は それぞれ $(2,1)_{\Sigma'}$, $(3,-1)_{\Sigma'}$, $(\alpha,\beta)_{\Sigma'}$ である．

これは次のように考える． $\mathbb{R}^{2}$ の座標軸を $x_{1}x_{2}$ とする． これとは別の座標軸として $y_{1}y_{2}$ を導入する． 原点を通り $\vec{a}$ と同じ向きの座標軸を $y_{1}$ とし， 同様に $\vec{b}$ と同じ向きの座標軸を $y_{2}$ とする． 座標軸 $y_{1}$, $y_{2}$ の目盛はそれぞれ $\vec{a}$, $\vec{b}$ の長さを $1$ として書く． このとき点 $C_{1}(\vec{c}_{1})$, $C_{2}(\vec{c}_{2})$, $C_{3}(\vec{c}_{3})$ は 座標軸 $y_{1}y_{2}$ 上の座標で表すと それぞれ $(2,1)_{\Sigma'}$, $(3,-1)_{\Sigma'}$, $(\alpha,\beta)_{\Sigma'}$ となる．

注意 1.26 (ベクトルの座標)   標準基底 $\{\vec{e}$, $\cdots$, $\vec{e}_n\}$ における座標 $(x_1,\cdots,x_n)$ はベクトルの成分となる．

平成20年2月2日