1.4 線形結合

定義 1.19 (線形結合)   ベクトル $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}\in\mathbb{R}^{n}$ と スカラー $\alpha$, $\beta\in\mathbb{R}$ に対して，

$$\vec{c}=\alpha\,\vec{a}+\beta\,\vec{b}$$ (14)

を $\vec{a}$, $\vec{b}$ の $1$ 次結合または 線形結合（linear combination）という．

注意 1.20 (線形結合)   線形結合 $\vec{c}=\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}$ を考える． $A(\vec{a})$, $B(\vec{b})$, $A'(\alpha\vec{a})$, $B'(\beta\vec{b})$, $C(\vec{c})$ とする． 点 $A'$, $B'$ はそれぞれ直線 $OA$, $OB$ の延長線上にあり， $\overline{OA'}=\alpha\overline{OA}$, $\overline{OB'}=\beta\overline{OB}$ を満す． 点 $O$, $A'$, $B'$, $C$ は平行四辺形となる．

例 1.21 (線形結合の具体例)   ベクトル $\vec{c}=2\vec{a}-3\vec{b}$ を考える． 原点 $O$ から点 $A(\vec{a})$ への延長線上の点で， 原点との長さが $\overline{OA}$ の $2$ 倍となる点を $A'$ とする． 原点 $O$ から点 $B(\vec{a})$ とは逆向きにのばした直線上の点で， 原点との長さが $\overline{OB}$ の $3$ 倍となる点を $B'$ とする． 点 $C$ は線分 $OA'$, $OB'$ からなる平行四辺形の 原点の対角線上の頂点となる．

定義 1.22 (基本ベクトル)   $\mathbb{R}^{n}$ 空間の座標軸上の点

$$E_{1}(1,0,0,\cdots,0)\,, E_{2}(0,1,0,\cdots,0)\,, E_{3}(0,0,1,\cdots,0)\,, \cdots\,, E_{n}(0,0,0,\cdots,1)\,$$ (15)

の位置ベクトル

$$\mathbb{R}^{n}\ni \vec{e}_{1}= \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdo... ...ts,\quad \vec{e}_{n}= \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\,$$ (16)

を $\mathbb{R}^{n}$ の基本ベクトル（fundamental vectors） という．

例 1.23 (線形結合の具体例)   $\mathbb{R}^{n}$ 空間内の任意の点 $\vec{x}$ は

$$\vec{x}= \begin{bmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix}= x_{1}\vec{e}_{1}+ x_{2}\vec{e}_{2}+ \cdots x_{n}\vec{e}_{n}$$ (17)

であり， $\vec{e}_{1}$, $\vec{e}_{2}$, $\cdots$, $\vec{e}_{n}$ の 線形結合で表される．

平成20年2月2日