1.3 ベクトルの演算

定義 1.13 (ベクトルの和)   ベクトル $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}\in\mathbb{R}^{n}$ に対して， ベクトルの和（vector sum）を

$$\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}= \begin{bmatrix}a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots ... ...begin{bmatrix}a_{1}+b_{1} \\ a_{2}+b_{2} \\ \vdots \\ a_{n}+b_{n} \end{bmatrix}$$ (8)

と定義する．

定義 1.14 (ベクトルのスカラー倍)   ベクトル $\vec{a}$, $\vec{b}\in\mathbb{R}^n$ と スカラー $\alpha\in\mathbb{R}$ に対して， ベクトルのスカラー倍（scalar multiple）を

$$\vec{b}=\alpha\vec{a}= \alpha \begin{bmatrix}a_{1} \\ a_{2} \\ \v... ...in{bmatrix}\alpha a_{1} \\ \alpha a_{2} \\ \vdots \\ \alpha a_{n} \end{bmatrix}$$ (9)

と定義する．

注意 1.15 (ベクトルの和)   ベクトル $\vec{a}$, $\vec{b}$ とそれらの和 $\vec{a}+\vec{b}$ を 考える． このとき， 点 $O$, $A(\vec{a})$, $B(\vec{b})$, $C(\vec{a}+\vec{b})$ は 平行四辺形となる．

注意 1.16 (ベクトルのスカラー倍)   ベクトル $\vec{a}$ とそのスカラー倍 $\vec{b}=\alpha\vec{a}$ を 考える． 点 $A(\vec{a})$, $B(\vec{b})$ とする． このとき点 $B$ は直線 $OA$ 上にある． 線分 $\overline{OB}$ の長さは 線分 $\overline{OA}$ の長さの $\alpha$ 倍である．

例 1.17 (ベクトルの和の具体例)  

$$\vec{a}= \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}\,,\quad \vec{b}= \begin{bmatrix}2 \\ -1 \\ -3 \end{bmatrix} \in\mathbb{R}^3$$ (10)

のとき，これらの和は

$$\vec{a}+\vec{b}= \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}+ \begin... ...rix}1+2 \\ 0-1 \\ 2-3 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}3 \\ -1 \\ -1 \end{bmatrix}$$ (11)

である．

例 1.18 (ベクトルのスカラー倍の具体例)  

$$\vec{a}= \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} \in\mathbb{R}^3$$ (12)

のとき， $\vec{a}$ の $2$ 倍は

$$2\vec{a}= 2 \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}= \begin{bmat... ...\\ 2\times0 \\ 2\times2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}2 \\ 0 \\ 4 \end{bmatrix}$$ (13)

である．

平成20年2月2日