4.12 余因子展開

定理 4.75 (余因子展開)   行列式 $\det(A)$ に対して

$$\det(A) = \sum_{k=1}^{n}a_{ik}\Delta_{ik}= a_{i1}\Delta_{i1}+ a_{i2}\Delta_{i2}+ a_{i3}\Delta_{i3}+\cdots+ a_{in}\Delta_{in}$$ (737)

$$\vert A\vert = (-1)^{i+1}a_{i1}\vert A_{i1}\vert+ (-1)^{i+2}a_{i2}\vert A_{i2}\vert+\cdots+ (-1)^{i+n}a_{in}\vert A_{in}\vert$$ (738)

$$=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{i+k}a_{ik}\vert A_{ik}\vert$$ (739)

が成り立つ． これを第 $i$ 行に関する余因子展開という． また，

$$\det(A) = \sum_{k=1}^{n}a_{kj}\Delta_{kj}= a_{1j}\Delta_{1j}+ a_{2j}\Delta_{2j}+ a_{3j}\Delta_{3j}+\cdots+ a_{nj}\Delta_{nj}$$ (740)

$$\vert A\vert = (-1)^{j+1}a_{1j}\vert A_{1j}\vert+ (-1)^{j+2}a_{2j}\vert A_{2j}\vert+ \cdots+ (-1)^{j+n}a_{nj}\vert A_{nj}\vert$$ (741)

$$=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+j}a_{kj}\vert A_{kj}\vert$$ (742)

が成り立つ． これを第 $j$ 列に関する余因子展開という．

問 4.76 (余因子展開)   これを示せ．

（証明） 第 $i$ 行に関する余因子展開を示す． まず行列式 $\vert A\vert$ の第 $i$ 行目を第一行目に移動すると

$$\vert A\vert = \begin{vmatrix}a_{1,1}\! & \!a_{1,2}\! & \!a_{1,3}\! & \!\cdots... ...\\ a_{n,1}\! & \!a_{n,2}\! & \!a_{n,3}\! & \!\cdots\! & \!a_{n,n} \end{vmatrix}$$ (743)

となる． 次に第一行目の行ベクトルを $n$ 個のベクトルとしてみなし， 行列式を $n$ 個に分解すると

$$\vert A\vert=$$ (744)

$$(-1)^{i-1} \begin{vmatrix}a_{i,1}\! & \!0\! & \!0\! & \!\cdots\! ... ...\\ a_{n,1}\! & \!a_{n,2}\! & \!a_{n,3}\! & \!\cdots\! & \!a_{n,n} \end{vmatrix}$$ (745)

$$+(-1)^{i-1} \begin{vmatrix}0\! & \!0\! & \!a_{i,3}\! & \!\cdots\!... ...\\ a_{n,1}\! & \!a_{n,2}\! & \!a_{n,3}\! & \!\cdots\! & \!a_{n,n} \end{vmatrix}$$ (746)

となる． 各項の第$j$ 列を第一列に移動すると

$$\vert A\vert=$$ (747)

$$(-1)^{i-1} \begin{vmatrix}a_{i,1}\! & \!0\! & \!0\! & \!\cdots\! ... ...\\ a_{n,2}\! & \!a_{n,1}\! & \!a_{n,3}\! & \!\cdots\! & \!a_{n,n} \end{vmatrix}$$ (748)

$$+(-1)^{i-1}(-1)^2 \begin{vmatrix}a_{i,3}\! & \!0\! & \!0\! & \!\c... ...\\ a_{n,n}\! & \!a_{n,1}\! & \!a_{n,2}\! & \!a_{n,3}\! & \!\cdots \end{vmatrix}$$ (749)

となる．各項を第 $(1,1)$ 成分で展開すると

$$\vert A\vert = (-1)^{i+1}a_{i,1}\vert A_{i,1}\vert+ (-1)^{i+2}a_{i,2}\vert A_{i,2}\vert+ (-1)^{i+3}a_{i,3}\vert A_{i,3}\vert+$$ (750)

$$\qquad\qquad \cdots+ (-1)^{i+n}a_{i,n}\vert A_{i,n}\vert$$ (751)

$$= a_{i,1}\Delta_{i,1}+ a_{i,2}\Delta_{i,2}+ a_{i,3}\Delta_{i,3}+\cdots+ a_{i,n}\Delta_{i,n} = \sum_{k=1}^{n}a_{i,k}\Delta_{i,k}$$ (752)

を得る． 同様の操作で列に関する余因子展開は示される．

例 4.77 (余因子展開の計算例)   第 $2$ 列目で余因子展開し，

$$\begin{vmatrix}2 & 3 & 1 \\ 7 & 2 & 5 \\ 4 & 0 & 3 \end{vmatrix}=... ...& 3 \end{vmatrix}+ (-1)^{3+2}\cdot0 \begin{vmatrix}2 & 1 \\ 7 & 5 \end{vmatrix}$$ (753)

$$= -3(7\cdot3-5\cdot4)+2(2\cdot3-1\cdot4)-0=1$$ (754)

を得る．

例 4.78 (余因子展開の計算例)   第 $2$ 行目で余因子展開し，

$$\begin{vmatrix}4 & 5 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \\ 7 & 8 & 3 \end{vmatrix} = (-1)^{2+1}\cdot0 \begin{vmatrix}5 & 2 \\ 8 & 3 \end{vmatrix}+ (... ...& 3 \end{vmatrix}+ (-1)^{2+3}\cdot2 \begin{vmatrix}4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}$$ (755)

$$=-0+0-2(4\cdot8-5\cdot7) =6$$ (756)

を得る．

例 4.79 (余因子展開の計算例)   第一行目を余因子展開し，

$$\overbrace{ \begin{vmatrix}a & & & & b \\ b & a & & & \\ & b & \ddots & & \\ & & \ddots & a & \\ & & & b & a \end{vmatrix}}^{n} = a \overbrace{ \begin{vmatrix}a & & & \\ b & \ddots & & \\ & \dd... ...x}b & a & & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & b & a \\ & & & b \end{vmatrix}}^{n-1}$$ (757)

$$=a^{n}+(-1)^{n+1}b^{n}$$ (758)

を得る．

平成20年2月2日