4.13 演習問題 〜 行列式，行列式の性質

問 4.80 (置換)   次の置換の積を計算せよ．
    (1)   $\begin{pmatrix} 1\! & \!2\! & \!3 \\ [-0.5ex] 3\! & \!1\! & \!2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\! & \!2\! & \!3 \\ [-0.5ex] 3\! & \!1\! & \!2 \end{pmatrix}$     (2)   $\begin{pmatrix} 1\! & \!2\! & \!3\! & \!4 \\ [-0.5ex] 3\! & \!4\! & \!2\! & \!... ...} 1\! & \!2\! & \!3\! & \!4 \\ [-0.5ex] 4\! & \!3\! & \!2\! & \!1 \end{pmatrix}$     (3)   $\begin{pmatrix} 1\! & \!3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2\! & \!3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2\! & \!4 \end{pmatrix}$
    (4)   $\begin{pmatrix} 1\! & \!4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3\! & \!2 \end{pmatrix}... ... 1\! & \!2\! & \!4\! & \!3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2\! & \!3 \end{pmatrix}$

問 4.81 (置換)   次の置換を互換の積に分解せよ．また各々の置換の符号 $\mathrm{sgn}\,\sigma$ を求めよ．
    (1)   $\begin{pmatrix} 1\! & \!3\! & \!6\! & \!4 \end{pmatrix}$     (2)   $\begin{pmatrix} 1\! & \!2\! & \!5\! & \!3\! & \!4 \end{pmatrix}$     (3)   $\begin{pmatrix} 2\! & \!4\! & \!6 \end{pmatrix}$     (4)   $\begin{pmatrix} 1\! & \!2\! & \!3\! & \!4\! & \!5\! & \!6\! & \!7 \\ [-0.5ex] 3\! & \!7\! & \!4\! & \!1\! & \!2\! & \!5\! & \!6 \end{pmatrix}$
    (5)   $\begin{pmatrix} 1\! & \!2\! & \!3\! & \!4\! & \!5\! & \!6\! & \!7\! & 8\! & \!... ...3\! & \!4\! & \!1\! & \!9\! & \!8\! & \!6\! & \!5\! & \!7\! & \!2 \end{pmatrix}$     (6)   $\begin{pmatrix} 1\! & \!2\! & \!3\! & \!4\! & \!5\! & \!6\! & \!7\! & 8\! & \!... ...7\! & \!6\! & \!8\! & \!2\! & \!1\! & \!4\! & \!9\! & \!3\! & \!5 \end{pmatrix}$

問 4.82 (置換)   置換 $\sigma=\begin{pmatrix} 1\! & \!2\! & \!3\! & \!4\! & \!5\! & \!6\! & \!7 \\ [-0.5ex] 4\! & \!1\! & \!6\! & \!2\! & \!7\! & \!5\! & \!3 \end{pmatrix}$ を巡回置換の積で表せ．

問 4.83 (行列式)   次の行列式の値を求めよ．
    (1)   $\begin{vmatrix} 1\! & \!3 \\ [-0.5ex] 2\! & \!4 \end{vmatrix}$     (2)   $\begin{vmatrix} 1\! & \!2 \\ [-0.5ex] 4\! & \!-1 \end{vmatrix}$     (3)   $\begin{vmatrix} 3\! & \!-1 \\ [-0.5ex] 4\! & \!2 \end{vmatrix}$     (4)   $\begin{vmatrix} -2\! & \!5 \\ [-0.5ex] 3\! & \!4 \end{vmatrix}$     (5)   $\begin{vmatrix} -1\! & \!3 \\ [-0.5ex] -2\! & \!-1 \end{vmatrix}$     (6)   $\begin{vmatrix} 1\! & \!2\! & \!3 \\ [-0.5ex] 0\! & \!5\! & \!2 \\ [-0.5ex] 7\! & 1\! & \!6 \end{vmatrix}$     (7)   $\begin{vmatrix} 1\! & \!0\! & \!2 \\ [-0.5ex] 3\! & \!0\! & \!4 \\ [-0.5ex] 2\! & -5\! & \!1 \end{vmatrix}$
    (8)   $\begin{vmatrix} 3\! & \!-2\! & \!5 \\ [-0.5ex] -4\! & \!3\! & \!-6 \\ [-0.5ex] 5\! & -3\! & \!9 \end{vmatrix}$     (9)   $\begin{vmatrix} 3\! & \!4\! & \!5 \\ [-0.5ex] 1\! & \!2\! & \!3 \\ [-0.5ex] -2\! & 5\! & \!-4 \end{vmatrix}$     (10)   $\begin{vmatrix} 0\! & \!0\! & \!4 \\ [-0.5ex] 0\! & \!-5\! & \!7 \\ [-0.5ex] 3\! & 2\! & \!1 \end{vmatrix}$     (11)   $\begin{vmatrix} 2\! & \!3\! & \!5 \\ [-0.5ex] 8\! & \!13\! & \!-1 \\ [-0.5ex] 6\! & -9\! & \!6 \end{vmatrix}$     (12)   $\begin{vmatrix} 1\! & \!2\! & \!1 \\ [-0.5ex] 2\! & \!-1\! & \!1 \\ [-0.5ex] 3\! & 1\! & \!2 \end{vmatrix}$
    (13)   $\begin{vmatrix} 1\! & \!2\! & \!-2 \\ [-0.5ex] 1\! & \!5\! & \!-3 \\ [-0.5ex] 2\! & 7\! & \!-5 \end{vmatrix}$     (14)   $\begin{vmatrix} 1\! & \!2\! & \!3 \\ [-0.5ex] 4\! & \!-2\! & \!3 \\ [-0.5ex] 2\! & 5\! & \!-1 \end{vmatrix}$     (15)   $\begin{vmatrix} 3\! & \!2\! & \!-4 \\ [-0.5ex] 1\! & \!0\! & \!-2 \\ [-0.5ex] -2\! & 3\! & \!3 \end{vmatrix}$     (16)   $\begin{vmatrix} 2\! & \!1\! & \!-1 \\ [-0.5ex] 1\! & \!3\! & \!1 \\ [-0.5ex] 2\! & -1\! & \!1 \end{vmatrix}$     (17)   $\begin{vmatrix} 1\! & \!3\! & \!3 \\ [-0.5ex] 2\! & \!-1\! & \!-1 \\ [-0.5ex] 4\! & 3\! & \!3 \end{vmatrix}$
    (18)   $\begin{vmatrix} 7\! & \!3\! & \!-5 \\ [-0.5ex] 3\! & \!-2\! & \!6 \\ [-0.5ex] 5\! & 5\! & \!3 \end{vmatrix}$     (19)   $\begin{vmatrix} 3\! & \!-1\! & \!5 \\ [-0.5ex] 3\! & \!4\! & \!-1 \\ [-0.5ex] -2\! & -1\! & \!-2 \end{vmatrix}$     (20)   $\begin{vmatrix} 1\! & \!-4\! & \!1 \\ [-0.5ex] 3\! & \!-6\! & \!7 \\ [-0.5ex] 2\! & -1\! & \!-3 \end{vmatrix}$     (21)   $\begin{vmatrix} 2\! & \!1\! & \!1 \\ [-0.5ex] -4\! & \!5\! & \!3 \\ [-0.5ex] -5\! & 4\! & \!2 \end{vmatrix}$     (22)   $\begin{vmatrix} 5\! & \!-3\! & \!14 \\ [-0.5ex] -5\! & \!6\! & \!7 \\ [-0.5ex] 10\! & 3\! & \!-7 \end{vmatrix}$
    (23)   $\begin{vmatrix} 2\! & \!16\! & \!3 \\ [-0.5ex] 4\! & \!8\! & \!-6 \\ [-0.5ex] 8\! & 8\! & \!12 \end{vmatrix}$     (24)   $\begin{vmatrix} 25\! & \!-15\! & \!10 \\ [-0.5ex] -10\! & \!6\! & \!4 \\ [-0.5ex] 1\! & 9\! & \!0 \end{vmatrix}$     (25)   $\begin{vmatrix} 10\! & \!19\! & \!16 \\ [-0.5ex] 6\! & \!11\! & \!13 \\ [-0.5ex] 5\! & 13\! & \!12 \end{vmatrix}$     (26)   $\begin{vmatrix} 20\! & \!19\! & \!16 \\ [-0.5ex] 12\! & \!11\! & \!13 \\ [-0.5ex] 10\! & 13\! & \!12 \end{vmatrix}$     (27)   $\begin{vmatrix} 12\! & \!16\! & \!32 \\ [-0.5ex] -6\! & \!13\! & \!4 \\ [-0.5ex] 15\! & 10\! & \!-20 \end{vmatrix}$
    (28)   $\begin{vmatrix} 1/4\! & \!1/6\! & \!2/3 \\ [-0.5ex] 1/12\! & \!1/6\! & \!1/4 \\ [-0.5ex] 1/4\! & 0\! & \!1/6 \end{vmatrix}$     (29)   $\begin{vmatrix} 99\! & \!100\! & \!101 \\ [-0.5ex] 100\! & \!99\! & \!100 \\ [-0.5ex] 101\! & 101\! & \!99 \end{vmatrix}$     (30)   $\begin{vmatrix} 2\! & \!-4\! & \!-5\! & \!3 \\ [-0.5ex] -6\! & \!13\! & \!14\!... ...1\! & -2\! & \!-2\! & \!-8 \\ [-0.5ex] 2\! & \!-5\! & \!0\! & \!5 \end{vmatrix}$     (31)   $\begin{vmatrix} 2\! & \!0\! & \!1\! & \!-2 \\ [-0.5ex] 1\! & \!3\! & \!2\! & \... ...] -1\! & 5\! & \!1\! & \!1 \\ [-0.5ex] 2\! & \!7\! & \!-6\! & \!3 \end{vmatrix}$
    (32)   $\begin{vmatrix} 1\! & \!0\! & \!5\! & \!0 \\ [-0.5ex] 0\! & \!3\! & \!0\! & \!... ...ex] 4\! & 0\! & \!2\! & \!0 \\ [-0.5ex] 0\! & \!3\! & \!0\! & \!7 \end{vmatrix}$     (33)   $\begin{vmatrix} 3\! & \!-3\! & \!-4\! & \!4 \\ [-0.5ex] 1\! & \!0\! & \!3\! & ... ...x] 4\! & 1\! & \!2\! & \!7 \\ [-0.5ex] -1\! & \!2\! & \!2\! & \!0 \end{vmatrix}$     (34)   $\begin{vmatrix} 5\! & \!4\! & \!7\! & \!9 \\ [-0.5ex] -1\! & \!3\! & \!9\! & \... ... 1\! & -3\! & \!-8\! & \!1 \\ [-0.5ex] 5\! & \!4\! & \!2\! & \!11 \end{vmatrix}$     (35)   $\begin{vmatrix} 1\! & \!-1\! & \!2\! & \!1 \\ [-0.5ex] 2\! & \!-1\! & \!1\! & ... ...x] -1\! & 1\! & \!2\! & \!1 \\ [-0.5ex] 2\! & \!1\! & \!1\! & \!1 \end{vmatrix}$
    (36)   $\begin{vmatrix} 3\! & \!1\! & \!3\! & \!5 \\ [-0.5ex] 6\! & \!2\! & \!2\! & \!... ...x] -3\! & 1\! & \!0\! & \!1 \\ [-0.5ex] 3\! & \!1\! & \!1\! & \!6 \end{vmatrix}$     (37)   $\begin{vmatrix} 2\! & \!-2\! & \!4\! & \!2 \\ [-0.5ex] 2\! & \!-1\! & \!6\! & ... ...\! & -2\! & \!12\! & \!12 \\ [-0.5ex] -1\! & \!3\! & \!-4\! & \!4 \end{vmatrix}$     (38)   $\begin{vmatrix} 2\! & \!-1\! & \!2\! & \!1 \\ [-0.5ex] 4\! & \!-1\! & \!6\! & ... ...] -2\! & 2\! & \!4\! & \!2 \\ [-0.5ex] -6\! & \!5\! & \!3\! & \!9 \end{vmatrix}$     (39)   $\begin{vmatrix} -1\! & \!-4\! & \!3\! & \!4 \\ [-0.5ex] 1\! & \!2\! & \!-3\! &... ...] 7\! & 9\! & \!4\! & \!2 \\ [-0.5ex] -9\! & \!7\! & \!-3\! & \!6 \end{vmatrix}$
    (40)   $\begin{vmatrix} 0\! & \!-3\! & \!-6\! & \!15 \\ [-0.5ex] -2\! & \!5\! & \!14\!... ...! & -3\! & \!-2\! & \!5 \\ [-0.5ex] 15\! & \!10\! & \!10\! & \!-5 \end{vmatrix}$     (41)   $\begin{vmatrix} 0\! & \!0\! & \!0\! & \!0\! & \!3 \\ [-0.5ex] 0\! & \!2\! & \!... ... \!1\! & \!2\! & \!2 \\ [-0.5ex] 8\! & 1\! & \!2\! & \!3\! & \!4 \end{vmatrix}$     (42)   $\begin{vmatrix} 1\! & \!-1\! & \!-1\! & \!1\! & \!-1 \\ [-0.5ex] 1\! & \!-1\! ... ...!1\! & \!1\! & \!1 \\ [-0.5ex] 1\! & 1\! & \!1\! & \!-1\! & \!-1 \end{vmatrix}$
    (43)   $\begin{vmatrix} 1\! & \!0\! & \!0\! & \!1\! & \!1 \\ [-0.5ex] 0\! & \!1\! & \!... ...\!3\! & \!1\! & \!0 \\ [-0.5ex] 1\! & 1\! & \!-2\! & \!0\! & \!0 \end{vmatrix}$     (44)   $\begin{vmatrix} 3\! & \!5\! & \!1\! & \!2\! & \!-1 \\ [-0.5ex] 2\! & \!6\! & \... ...\!3\! & \!2\! & \!5 \\ [-0.5ex] 0\! & 0\! & \!0\! & \!0\! & \!-6 \end{vmatrix}$     (45)   $\begin{vmatrix} 3\! & \!5\! & \!1\! & \!2\! & \!1 \\ [-0.5ex] 2\! & \!6\! & \!... ... \!0\! & \!0\! & \!0 \\ [-0.5ex] 1\! & 5\! & \!0\! & \!0\! & \!0 \end{vmatrix}$

問 4.84 (行列式)   次の行列式を計算せよ．
    (1)   $\begin{vmatrix} 1\! & \!1\! & \!1 \\ [-0.5ex] a\! & \!b\! & \!c \\ [-0.5ex] a^2\! & b^2\! & \!c^2 \end{vmatrix}$     (2)   $\begin{vmatrix} a\! & \!b\! & \!c \\ [-0.5ex] a^2\! & \!b^2\! & \!c^2 \\ [-0.5ex] b+c\! & c+a\! & \!a+b \end{vmatrix}$     (3)   $\begin{vmatrix} a\! & \!b\! & \!b\! & \!b \\ [-0.5ex] a\! & \!b\! & \!a\! & \!... ...ex] a\! & a\! & \!b\! & \!a \\ [-0.5ex] b\! & \!b\! & \!b\! & \!a \end{vmatrix}$     (4)   $\begin{vmatrix} 0\! & \!a\! & \!b\! & \!c \\ [-0.5ex] a\! & \!0\! & \!c\! & \!... ...ex] b\! & c\! & \!0\! & \!a \\ [-0.5ex] c\! & \!b\! & \!a\! & \!0 \end{vmatrix}$     (5)   $\begin{vmatrix} 1\! & \!a\! & \!d\! & \!b+c \\ [-0.5ex] 1\! & \!b\! & \!a\! & ... ...1\! & c\! & \!b\! & \!a+d \\ [-0.5ex] 1\! & \!d\! & \!c\! & \!a+b \end{vmatrix}$
    (6)   $\begin{vmatrix} a\! & \!-a\! & \!-a\! & \!-a \\ [-0.5ex] b\! & \!b\! & \!-b\! ... ...x] c\! & c\! & \!c\! & \!-c \\ [-0.5ex] d\! & \!d\! & \!d\! & \!d \end{vmatrix}$     (7)   $\begin{vmatrix} a+b+c\! & \!-c\! & \!-b \\ [-0.5ex] -c\! & \!a+b+c\! & \!-a \\ [-0.5ex] -b\! & -a\! & \!a+b+c \end{vmatrix}$     (8)   $\begin{vmatrix} 1\! & \!1\! & \!1\! & \!1 \\ [-0.5ex] 1\! & \!1+x\! & \!1\! & ... ...1\! & 1\! & \!1+y\! & \!1 \\ [-0.5ex] 1\! & \!1\! & \!1\! & \!1+z \end{vmatrix}$
    (9)   $\begin{vmatrix} x+1\! & \!y\! & \!z\! & \!w \\ [-0.5ex] x\! & \!y+1\! & \!z\! ... ...x\! & y\! & \!z+1\! & \!w \\ [-0.5ex] x\! & \!y\! & \!z\! & \!w+1 \end{vmatrix}$     (10)   $\begin{vmatrix} x-2\! & \!4\! & \!3 \\ [-0.5ex] 1\! & \!x+1\! & \!-2 \\ [-0.5ex] 0\! & 0\! & \!x-4 \end{vmatrix}$     (11)   $\begin{vmatrix} x-1\! & \!3\! & \!-3 \\ [-0.5ex] -3\! & \!x+5\! & \!-3 \\ [-0.5ex] -6\! & 6\! & \!x-4 \end{vmatrix}$
    (12)   $\begin{vmatrix} 1\! & \!a^2-bc\! & \!a^4 \\ [-0.5ex] 1\! & \!b^2-ca\! & \!b^4 \\ [-0.5ex] 1\! & c^2-ab\! & \!c^4 \end{vmatrix}$     (13)   $\begin{vmatrix} a\! & \!abc\! & \!a^2 \\ [-0.5ex] b\! & \!abc\! & \!b^2 \\ [-0.5ex] c\! & abc\! & \!c^2 \end{vmatrix}$     (14)   $\begin{vmatrix} b^2+c^2\! & \!ab\! & \!ac \\ [-0.5ex] ab\! & \!c^2+a^2\! & \!bc \\ [-0.5ex] ca\! & bc\! & \!a^2+b^2 \end{vmatrix}$

問 4.85 (行列式の性質)   $\vert A+B\vert=\vert A\vert+\vert B\vert$ は一般的には成り立たない．その例をあげよ．

問 4.86 (行列式の性質)   $A$ が正則行列ならば， $\det(A)\not=0$ であり， $\det(A^{-1})=\det(A)^{-1}$ であることを示せ．

問 4.87 (行列式の性質)   $A$，$B$，$C$ が $n$ 次正方行列のとき， $\begin{vmatrix} A\! & \!B \\ [-0.5ex] C\! & \!O \end{vmatrix}$ を求めよ．

問 4.88 (行列式の性質)   $A$，$B$ が $n$ 次正方行列のとき， $\begin{vmatrix} A\! & \!B \\ [-0.5ex] B\! & \!A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} A+B \end{vmatrix}\begin{vmatrix} A-B \end{vmatrix}$ を示せ．

平成20年2月2日