4.14 余因子行列

定義 4.89 (余因子行列)   $n$ 次正方行列 $A$ に対して

$$\widetilde{A} = \begin{bmatrix}\Delta_{11} & \Delta_{21} & \Delta_{31} & \cdots... ...\\ \Delta_{1n} & \Delta_{2n} & \Delta_{3n} & \cdots & \Delta_{nn} \end{bmatrix}$$ (759)

と定義される行列を $A$ の余因子行列と呼ぶ．

注意 4.90 (余因子行列)   余因子行列 $\widetilde{A}=[\Delta_{ji}]$ の 成分の添字は転置行列のならび方であることに注意する．

定理 4.91 (余因子行列の性質)   正方行列 $A$ とその余因子行列 $\tilde{A}$ に対して

$$A\tilde{A}=\tilde{A}A=\det(A)E$$ (760)

が成立する．

（証明） $A=[a_{ij}]$, $\widetilde{A}=[\Delta_{ji}]$, $A\widetilde{A}=[c_{ij}]$ とおく． 積の定義より

$$c_{ij} =\sum_{k=1}^{n}a_{ik}\Delta_{jk}= a_{i1}\Delta_{j1}+a_{i2}\Delta_{j2}+\cdots+a_{in}\Delta_{jn}$$ (761)

である． これは $\vert A\vert$ の第 $j$ 行の余因子展開だから

$$c_{ij} = \begin{vmatrix}a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\ \vdots &... ...vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n} \end{vmatrix}$$ (762)

となる． 第 $j$ 行目に第 $i$ 行目の成分がならぶ． $i\neq j$ であるとき第 $j$ 行目と第 $i$ 行目は同じ行となるから， 行列式は 0 となる． $i\neq j$ のときは，行列式は $\det(A)$ と等しい． よって，

$$c_{ij}= \sum_{k=1}^{n}a_{ik}\Delta_{jk}= \det(A)\delta_{i,j}$$ (763)

を得る．以上より

$$A\widetilde{A}=[c_{ij}]= [\det(A)\delta_{i,j}]= \det(A)[\delta_{i,j}]= \det(A)E$$ (764)

が示される． $\widetilde{A}A=\det(A)E$ も 同様に示される．

平成20年2月2日