4.15 余因子行列と逆行列

定理 4.92 (行列式と行列の正則性)   正方行列 $A$ に対して， $\det(A)\neq0$ のとき $A$ は正則である．

（証明） 定理

$$A\widetilde{A}=\widetilde{A}A=\det(A)E$$ (765)

であるから， $\det(A)\neq0$ とすると各辺を $\det(A)$ で割って

$$A\frac{\widetilde{A}}{\det(A)}= \frac{\widetilde{A}}{\det(A)}A= E$$ (766)

が成り立つ．よって $(\det(A))^{-1}\widetilde{A}$ は $A$ の逆行列であり，$A$ は正則である．

定理 4.93 (余因子行列と逆行列)   正方行列 $A$ に対して， $\det(A)\neq0$ のとき $A$ の逆行列は

$$A^{-1} = \frac{\tilde{A}}{\det(A)}$$ (767)

で与えられる．

定理 4.94 (逆行列が存在するための十分条件)   正方行列 $A$, $B$ に対して $AB=E$ （または $BA=E$）が成立するとき， $B$ は $A$ の逆行列となる．

（証明） $AB=E$ より，両辺の行列式をとると

$$\det(AB)=\det(A)\det(B)=\det(E)=1$$ (768)

が成り立つ． これより $\det(A)\neq0$ を得る． よって， $\det(A)\neq0$ のとき $A$ は正則であるから， 逆行列 $A^{-1}$ をもつ． さらに $A^{-1}$ が存在することを用いると

$$B=EB=(A^{-1}A)B=A^{-1}(AB)=A^{-1}E=A^{-1}$$ (769)

が成り立つ．$B=A^{-1}$ が示された．

例 4.95 (余因子行列による逆行列の計算の具体例)   $n=2$ のとき逆行列は

$$A^{-1} = \frac{1}{\Delta} \begin{bmatrix}\Delta_{11} & \Delta_{21} \\ \D... ...t & -\vert A_{21}\vert \\ -\vert A_{12}\vert & +\vert A_{22}\vert \end{bmatrix}$$ (770)

$$= \frac{1}{ \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \en... ...a_{12}a_{21}} \begin{bmatrix}a_{22} & -a_{12} \\ -a_{21} & a_{11} \end{bmatrix}$$ (771)

である． $n=3$ のとき逆行列は

$$A^{-1} = \frac{1}{\Delta} \begin{bmatrix}\Delta_{11} & \Delta_{21} & \De... ...t \\ +\vert A_{13}\vert & -\vert A_{23}\vert & +\vert A_{33}\vert \end{bmatrix}$$ (772)

$$= \frac{1}{ \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a... ...in{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} \end{array} \right]$$ (773)

である．

例 4.96 (余因子行列による逆行列の計算例)   行列

$$A= \begin{bmatrix}1 & 3 \\ -2 & 2 \end{bmatrix}$$ (774)

の逆行列を求める． 行列式は

$$\Delta= a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}= 1\cdot2-3(-2)=8$$ (775)

であるから， 逆行列は

$$A^{-1} = \frac{1}{\Delta} \begin{bmatrix}a_{22} & -a_{12} \\ -a_{21} & a... ...n{bmatrix}\frac{1}{4} & -\frac{3}{8} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{8} \end{bmatrix}$$ (776)

で与えられる．

例 4.97 (余因子行列による逆行列の計算例)   行列

$$A= \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 4 & 1 & 5 \end{bmatrix}$$ (777)

の逆行列を求める． 小行列の行列式は

$$\vert A_{11}\vert = \begin{vmatrix}1 & -1 \\ 1 & 5 \end{vmatrix}=6\,, \vert A_{21}\vert = \begin{vmatrix}2 & 3 \\ 1 & 5 \end{vmatrix}=7\,, \vert A_{31}\vert = \begin{vmatrix}2 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}=-5\,,$$ (778)

$$\vert A_{12}\vert = \begin{vmatrix}1 & -1 \\ 4 & 5 \end{vmatrix}=9\,, \vert A_{22}\vert = \begin{vmatrix}1 & 3 \\ 4 & 5 \end{vmatrix}=-7\,, \vert A_{32}\vert = \begin{vmatrix}1 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}=-4\,,$$ (779)

$$\vert A_{13}\vert = \begin{vmatrix}1 & 1 \\ 4 & 1 \end{vmatrix}=-3\,, \vert A_{23}\vert = \begin{vmatrix}1 & 2 \\ 4 & 1 \end{vmatrix}=-7\,, \vert A_{33}\vert = \begin{vmatrix}1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}=-1\,$$ (780)

であり，行列式は

$$\vert A\vert= \begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 4 & 1 & 5... ... a_{11}\vert A_{11}\vert- a_{12}\vert A_{12}\vert+ a_{13}\vert A_{13}\vert= -21$$ (781)

であるので， 逆行列は

$$A^{-1} = \frac{1}{\Delta} \begin{bmatrix}\Delta_{11} & \Delta_{21} & \De... ...t \\ +\vert A_{13}\vert & -\vert A_{23}\vert & +\vert A_{33}\vert \end{bmatrix}$$ (782)

$$= -\frac{1}{21} \begin{bmatrix}6 & -7 & 5 \\ -9 & -7 & 4 \\ -3 & 7 & -1 \end{bmatrix}$$ (783)

と与えられる．

平成20年2月2日