4.15 余因子行列と逆行列

定理 4.92 (行列式と行列の正則性)   正方行列 $ A$ に対して, $ \det(A)\neq0$ のとき $ A$ は正則である.


(証明) 定理

$\displaystyle A\widetilde{A}=\widetilde{A}A=\det(A)E$ (765)

であるから, $ \det(A)\neq0$ とすると各辺を $ \det(A)$ で割って

$\displaystyle A\frac{\widetilde{A}}{\det(A)}= \frac{\widetilde{A}}{\det(A)}A= E$ (766)

が成り立つ.よって $ (\det(A))^{-1}\widetilde{A}$$ A$ の逆行列であり,$ A$ は正則である.

定理 4.93 (余因子行列と逆行列)   正方行列 $ A$ に対して, $ \det(A)\neq0$ のとき $ A$ の逆行列は

$\displaystyle A^{-1}$ $\displaystyle = \frac{\tilde{A}}{\det(A)}$ (767)

で与えられる.

定理 4.94 (逆行列が存在するための十分条件)   正方行列 $ A$, $ B$ に対して $ AB=E$ (または $ BA=E$)が成立するとき, $ B$$ A$ の逆行列となる.


(証明) $ AB=E$ より,両辺の行列式をとると

$\displaystyle \det(AB)=\det(A)\det(B)=\det(E)=1$ (768)

が成り立つ. これより $ \det(A)\neq0$ を得る. よって, $ \det(A)\neq0$ のとき $ A$ は正則であるから, 逆行列 $ A^{-1}$ をもつ. さらに $ A^{-1}$ が存在することを用いると

$\displaystyle B=EB=(A^{-1}A)B=A^{-1}(AB)=A^{-1}E=A^{-1}$ (769)

が成り立つ.$ B=A^{-1}$ が示された.

4.95 (余因子行列による逆行列の計算の具体例)   $ n=2$ のとき逆行列は

$\displaystyle A^{-1}$ $\displaystyle = \frac{1}{\Delta} \begin{bmatrix}\Delta_{11} & \Delta_{21} \\ \D...
...t & -\vert A_{21}\vert \\ -\vert A_{12}\vert & +\vert A_{22}\vert \end{bmatrix}$ (770)
  $\displaystyle = \frac{1}{ \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \en...
...a_{12}a_{21}} \begin{bmatrix}a_{22} & -a_{12} \\ -a_{21} & a_{11} \end{bmatrix}$ (771)

である. $ n=3$ のとき逆行列は

$\displaystyle A^{-1}$ $\displaystyle = \frac{1}{\Delta} \begin{bmatrix}\Delta_{11} & \Delta_{21} & \De...
...t \\ +\vert A_{13}\vert & -\vert A_{23}\vert & +\vert A_{33}\vert \end{bmatrix}$ (772)
  $\displaystyle = \frac{1}{ \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a...
...in{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} \end{array} \right]$ (773)

である.

4.96 (余因子行列による逆行列の計算例)   行列

$\displaystyle A= \begin{bmatrix}1 & 3 \\ -2 & 2 \end{bmatrix}$ (774)

の逆行列を求める. 行列式は

$\displaystyle \Delta= a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}= 1\cdot2-3(-2)=8$ (775)

であるから, 逆行列は

$\displaystyle A^{-1}$ $\displaystyle = \frac{1}{\Delta} \begin{bmatrix}a_{22} & -a_{12} \\ -a_{21} & a...
...n{bmatrix}\frac{1}{4} & -\frac{3}{8} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{8} \end{bmatrix}$ (776)

で与えられる.

4.97 (余因子行列による逆行列の計算例)   行列

$\displaystyle A= \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 4 & 1 & 5 \end{bmatrix}$ (777)

の逆行列を求める. 小行列の行列式は

$\displaystyle \vert A_{11}\vert$ $\displaystyle = \begin{vmatrix}1 & -1 \\ 1 & 5 \end{vmatrix}=6\,,$ $\displaystyle \vert A_{21}\vert$ $\displaystyle = \begin{vmatrix}2 & 3 \\ 1 & 5 \end{vmatrix}=7\,,$ $\displaystyle \vert A_{31}\vert$ $\displaystyle = \begin{vmatrix}2 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}=-5\,,$ (778)
$\displaystyle \vert A_{12}\vert$ $\displaystyle = \begin{vmatrix}1 & -1 \\ 4 & 5 \end{vmatrix}=9\,,$ $\displaystyle \vert A_{22}\vert$ $\displaystyle = \begin{vmatrix}1 & 3 \\ 4 & 5 \end{vmatrix}=-7\,,$ $\displaystyle \vert A_{32}\vert$ $\displaystyle = \begin{vmatrix}1 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}=-4\,,$ (779)
$\displaystyle \vert A_{13}\vert$ $\displaystyle = \begin{vmatrix}1 & 1 \\ 4 & 1 \end{vmatrix}=-3\,,$ $\displaystyle \vert A_{23}\vert$ $\displaystyle = \begin{vmatrix}1 & 2 \\ 4 & 1 \end{vmatrix}=-7\,,$ $\displaystyle \vert A_{33}\vert$ $\displaystyle = \begin{vmatrix}1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}=-1\,$ (780)

であり,行列式は

$\displaystyle \vert A\vert= \begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 4 & 1 & 5...
... a_{11}\vert A_{11}\vert- a_{12}\vert A_{12}\vert+ a_{13}\vert A_{13}\vert= -21$ (781)

であるので, 逆行列は

$\displaystyle A^{-1}$ $\displaystyle = \frac{1}{\Delta} \begin{bmatrix}\Delta_{11} & \Delta_{21} & \De...
...t \\ +\vert A_{13}\vert & -\vert A_{23}\vert & +\vert A_{33}\vert \end{bmatrix}$ (782)
  $\displaystyle = -\frac{1}{21} \begin{bmatrix}6 & -7 & 5 \\ -9 & -7 & 4 \\ -3 & 7 & -1 \end{bmatrix}$ (783)

と与えられる.


平成20年2月2日