4.16 クラメールの公式

定理 4.98 (クラメールの方法)   連立 1 次方程式 $ A\vec{x}=\vec{b}$ に関して, 係数行列

$\displaystyle A= \begin{bmatrix}\vec{a}_{1} & \vec{a}_{2} & \cdots & \vec{a}_{n} \end{bmatrix}$ (784)

$ n$ 次正方行列でかつ正則なとき, 方程式の解 $ \vec{x}={[ x_{1}\,\,x_{2}\,\,\cdots\,\,x_{n}]}^{T}$

$\displaystyle x_{j}$ $\displaystyle = \frac{\det \begin{bmatrix}\vec{a}_{1} & \cdots & \vec{a}_{j-1} ...
...a}_{j+1} & \cdots & \vec{a}_{n} \end{bmatrix}} {\det(A)}\,,\quad j=1,2,\cdots,n$ (785)

で与えられる. これをクラメールの方法(Cramer's rule)という.


(証明) $ A$ は正則であるから, 方程式 $ A\vec{x}=\vec{b}$ に左から $ A^{-1}$ を掛けると

$\displaystyle \vec{x}=A^{-1}\vec{b}= \frac{1}{\det(A)}\widetilde{A}\vec{b}$ (786)

が成り立つ. 成分で表すと

$\displaystyle \begin{bmatrix}x_{1} \\ \vdots \\ x_{j} \\ \vdots \\ x_{n} \end{b...
...n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n} \end{bmatrix}$ (787)

より

$\displaystyle x_{j}= \frac{1}{\vert A\vert}\left( b_{1}\Delta_{1j}+ b_{2}\Delta...
... b_{n}\Delta_{nj}\right)= \frac{1}{\vert A\vert} \sum_{k=1}^{n}b_{k}\Delta_{kj}$ (788)

を得る. これは第 $ j$ 列の余因子展開だから

$\displaystyle x_{j}= \frac{1}{\vert A\vert} \begin{vmatrix}a_{11}\! & \!\cdots\...
...1}\! & \!\vec{b}\! & \!\vec{a}_{j+1} & \!\cdots\! & \!\vec{a}_{n} \end{bmatrix}$ (789)

が示された.

注意 4.99 (クラメールの方法)   解をもつためには分母 $ \det(A)$0 となってはいけない. $ \det(A)\neq0$ である必要がある. すなわち $ A$ は正則のときクラメールの方法は 使用できる.

4.100 (クラメールの公式の使用例)   方程式

$\displaystyle \begin{bmatrix}5 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}3 \\ 2 \end{bmatrix}$ (790)

を考える. 行列式は

$\displaystyle \det(A)= \begin{vmatrix}5 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} =7$ (791)

であり,解は

$\displaystyle x_{1}= \frac{1}{7} \begin{vmatrix}3 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix}= \...
...uad x_{2}= \frac{1}{7} \begin{vmatrix}5 & 3 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}= \frac{1}{7}$ (792)

と求まる.

4.101 (クラメールの公式の使用例)   方程式

$\displaystyle \begin{bmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \end{bmatrix}...
...{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}$ (793)

の解を求める.

$\displaystyle \det(A)= \begin{vmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = 5$ (794)

であり, 解は

$\displaystyle x_{1}$ $\displaystyle = \frac{1}{\vert A\vert} \begin{vmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ -1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = \frac{9}{5}\,,$ (795)
$\displaystyle x_{2}$ $\displaystyle = \frac{1}{\vert A\vert} \begin{vmatrix}1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \frac{6}{5}\,,$ (796)
$\displaystyle x_{3}$ $\displaystyle = \frac{1}{\vert A\vert} \begin{vmatrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & -1 \end{vmatrix}= -\frac{2}{5}$ (797)

である.


平成20年2月2日