4.17 行列の簡約化と行列式

注意 4.102 (基本変形行列の行列式)   行列の行の基本変形を表す行列 $P_{k}^{(1)}(\alpha)$, $P_{k,l}^{(2)}$, $P_{k,l}^{(3)}(\alpha)$ の行列式は

$$\det\left(P_{k}^{(1)}(\alpha)\right)=\alpha\,,\quad \det\left(P_{k,l}^{(2)}\right)=-1\,,\quad \det\left(P_{k,l}^{(3)}(\alpha)\right)=1\,$$ (798)

である．

問 4.103 (基本変形行列の行列式)   これを示せ．

定理 4.104 (基本変形の正則性)   $A$ が正則であるとき，行の基本変形をして得た行列 $B$ もまた 正則である．

（証明） 行の基本変形は $B=P^{(\nu)}A$ ($\nu=1,2,3$) と表される． 両辺の行列式をとると

$$\det(B)=\det\left(P^{(\nu)}\right)\det(A)$$ (799)

となる． $A$ が正則なとき $\det(A)\neq0$ である． $\det(P^{(\nu)})\neq0$ であるから， $\det(B)\neq0$ を得る． よって $B$ も正則である．

定理 4.105 (行列の簡約化の正則性)   行列 $A$ が正則なとき 簡約化して得た階段行列 $B$ も正則である．

（証明） 簡約化は行の基本変形を繰り返し行う変換である． 正則な行列は正則な行列に写される． これを繰り返して得られた行列 $B$ もまた正則である．

平成20年2月2日