1.10 全単射

定義 1.38 (定義域，値域)   写像 $f:X\to Y$ に関して， $X$ を定義域（domain）といい，

$$f(X) = \left\{\left.\,{f(x)}\,\,\right\vert\,\,{x\in X}\,\right\}$$

で定義される集合を 値域（range）または像（image）という．

例 1.39 (値域の具体例)   写像 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R};y=f(x)=2x+1$ の 定義域は $\mathbb{R}=(-\infty,\infty)$ であり， 値域または $f$ の像は $f(\mathbb{R})=(-\infty,\infty)=\mathbb{R}$ である．

例 1.40 (値域の具体例)   写像 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R};y=f(x)=2x^2+1$ の 定義域は $\mathbb{R}=(-\infty,\infty)$ であり， 値域または $f$ の像は $f(\mathbb{R})=[1,\infty)\subsetneq\mathbb{R}$ である．

定義 1.41 (写像の分類)   写像 $f:X\to Y$ に対して次の分類を定義する．

• $f(X)=Y$ をみたすとき． $f$ を上への写像（onto-mapping） または全射（surjection）という．
• 異なる 2 つの元 $x_{1}$, $x_{2}\in X$ に対して $f(x_{1})\neq f(x_{2})$ となるとき， すなわち， ある元 $y\in Y$ に対して $f(x)=y$ となる ただ 1 つの元 $x\in X$ が定まるとき， $f$ を1 対 1 写像（one-to-one mapping） または単射（injection）という．
• 単射かつ全射のとき $f$ を 上への 1 対 1 写像（onto one-to-one mapping）または 全単射（bijection）という．

定理 1.42 (逆写像)   全単射のとき逆写像をもつ．

例 1.43 (全単射の具体例)   写像

$$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R};\qquad y=f(x)=ax+b$$

は上への 1 対 1 写像である． また，このとき逆写像をもち，

$$f^{-1}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}; \qquad x=f^{-1}(y)=\frac{y-b}{a}$$

と表される．

例 1.44 (全単射ではない具体例)   写像

$$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R};\qquad y=f(x)=ax^2+b$$

を考える． $y\ge b$ より $f(\mathbb{R})=[b,\infty)\neq\mathbb{R}$ をみたし，$f$ は上への写像ではない． さらには， $x=1,-1$ に対して $y=a+b$ となり， 2 対 1 の写像であり 1 対 1 写像ではない． またこれらより，逆写像 $f^{-1}$ は存在しない．

平成20年2月2日